6. voorwaardelijke kans en onafhankelijkheid

Voorwaardelijke theoretische kansen P(B | A) is de kans op B onder de voorwaarde A. P\left( {B|A} \right)=\Large\frac{{P\left( {A \cap B} \right)}}{{P\left( A \right)}} waarbij P\left( A \right) \ne 0 Voorbeeld 1 In een onderzoek onder 185 studenten, blijken er 91 geschiedenis te studeren en 75 biologie. 37 studenten doen beiden. We onderscheiden de volgende gebeurtenissen: G: student studeert geschiedenis B: student studeert biologie Bereken P(G|B) en P(B|G) Antwoord P\left( {G \cap B} \right) = \frac{{37}}{{185}} , P\left( G \right) = \frac{{91}}{{185}}  en P\left( B \right) = \frac{{75}}{{185}} \begin{array}{l}  P\left( {G|B} \right) = \frac{{\frac{{37}}{{185}}}}{{\frac{{75}}{{185}}}} = \frac{{37}}{{75}} \approx {\rm{0}}{\rm{,493}} \\  {\rm{P}}\left( {B|G} \right) = \frac{{\frac{{37}}{{185}}}}{{\frac{{91}}{{185}}}} = \frac{{37}}{{91}} \approx {\rm{0}}{\rm{,407}} \\  \end{array}

Onafhankelijke gebeurtenissen A en B zijn onafhankelijke gebeurtenissen betekent: P(A|B)=P(A) Voorbeeld 2 We onderscheiden de volgende gebeurtenissen: A: leerlingen is een jongen B: leerling is 15 of 16 jaar Bereken P(A|B) en P(A). Welke conclusie kun je daar uit trekken? Antwoord P(A|B)=\frac{11}{22}=\frac{1}{2} en P(A)=\frac{12}{30}=\frac{2}{5}. De gebeurtenissen A en B zijn niet onafhankelijk.

De regel van Bayes Voor de gebeurtenissen A en B bij een kansexperiment geldt: P\left( {B|A} \right) = \Large\frac{{P\left( {A|B} \right) \cdot P\left( B \right)}}{{P\left( A \right)}} Voorbeeld 1 Van een groep van 1000 studenten gaat 20% op wintersport. Van de studenten die op wintersport gaan komt 1% terug met een been in het gips. In totaal zijn er 4 studenten met een been in 't gips. Hoeveel procent van de studenten die zijn been gebroken heeft is op wintersport geweest?

Antwoord voorbeeld 1 \begin{array}{l}  P\left( {B|A} \right) = \frac{{P\left( {A|B} \right) \cdot P\left( B \right)}}{{P\left( A \right)}} \\  A:breekt\,\,been \\  B:gaat\,\,op\,\,w{\mathop{\rm int}} ersport \\  P(A|B) = \frac{2}{{200}} = 0,01 \\  P(B) = \frac{{200}}{{1000}} = 0,2 \\  P(A) = \frac{4}{{1000}} = 0,004 \\  P(B|A) = \frac{{0,01 \cdot 0,2}}{{0,004}} = 0,5 \\  \end{array} Van de studenten die hun been gebroken hebben is 50% op wintersport geweest.... Wow:-)