Opgave

Gegeven de volgende rij: 1, -1, 3, -5, 11, -21, 43, -85, ...

• Stel een recursieve formule op
• Stel een directe formule op

Uitwerking

De recursieve formule:

$ \begin{array}{l} u_0 = 0 \\ u_1 = 1 \\ u_2 = 1 \\ u_3 = - 1 \\ u_4 = 3 \\ u_5 = - 5 \\ ... \\ u_n = - u_{n - 1} + 2 \cdot u_{n - 2} \\ \end{array} $

Neem $ u_n = g^n $;

$ \begin{array}{l} g^n = - g^{n - 1} + 2 \cdot g^{n - 2} \\ g^2 = - g + 2 \\ g^2 + g - 2 = 0 \\ (g + 2)(g - 1) = 0 \\ g = - 2 \vee g - 1 \\ \end{array} $

Invullen van $ u_0 = 0\,\,en\,\,u_1 = 1 $ geeft:

$ \begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} A + B = 0 \\ - 2A + B = 1 \\ \end{array} \right. \\ \left\{ \begin{array}{l} A = - \frac{1}{3} \\ B = \frac{1}{3} \\ \end{array} \right. \\ \end{array} $

De directe formule is:

$ \eqalign{u_n = - \frac{1}{3} \cdot ( - 2)^n + \frac{1}{3}} $