5. de binomiale verdeling

Bernoulli-experiment Een Bernoulli-experiment is een kansexperiment waarbij je alleen op de gebeurtenis 'succes' en 'mislukking' let. Een binomiaal kansexperiment is een kansexperiment dat bestaat uit $n$ gelijke Bernoulli-experimenten. Bij een binomiaal toevalsvariabele $X$ met parameters $n$ en $p$ is de kans op $k$ keer succes gelijk aan: $ P(X = k) = \left( {\begin{array}{*{20}c} n\\ k\\ \end{array}} \right)\cdot p^k\cdot \left( {1 - p} \right)^{n - k} $ De verwachtingswaarde $E(X)=n\cdot p$ Voorbeeld Je gooit met 6 dobbelstenen. Wat is de kans op 2 keer zes ogen? Antwoord $X$ is binomiaal verdeeld met $p=\frac{1}{6}$ en $n=6$ $ P(X = 2) = \left( {\begin{array}{*{20}c} 6\\ 2\\ \end{array}} \right) \cdot \left( {\frac{1}{6}} \right)^2\cdot \left( {\frac{5}{6}} \right)^4\approx {\rm{0}}{\rm{,201}} $	Berekenen van binomiale kansen  Uit een vaas met 4 rode en 6 witte knikkers worden aselect, met teruglegging, drie knikkers getrokken. De stochast $X$ is het aantal rode knikkers. $P(X=0)={3\choose0}\cdot0,4^0\cdot0,6^3=0,216$ $P(X=1)={3\choose1}\cdot0,4^1\cdot0,6^2=0,432$ $P(X=2)={3\choose2}\cdot0,4^2\cdot0,6^1=0,288$ $P(X=3)={3\choose3}\cdot0,4^3\cdot0,6^0=0,064$ De kansverdeling staat hieronder weergegeven als staafdiagram: Je kunt nu ook allerlei andere kansen uitrekenen: $P(X\le 2)$ $P(X>1)$ $P(0\lt X\lt3)$ Hier is dat een beetje flauw maar bij grotere waarden van $n$ kunnen dat soort berekeningen als snel veel werk worden. Met je GR kan je de kansen van de binomiale verdeling ook uitrekenen. Dat is wel zo handig...:-)
De binomiale verdeling en de GR Je kunt binomiale kansen uitrekenen met je GR via het run-matrix-menu en via statistics. Via het run-matrix-menu: De binomiale verdeling Via statistics: De binomiale verdeling	Berekenen van n Hoe vaak moet je met een dobbelsteen gooien zodat de kans op minstens vier keer zes ogen te gooien groter is dan $0,95$? Om $n$ te berekenen gebruik je het Table-menu van je GR: De waarde van $n$ berekenen bij de binomiale verdeling
Notaties en berekeningen $P(X=4)$ $P(X\le 4)$ $P(X<4)$ $P(X>4)$ $P(2< X\le 7)$ $P(2\le X <10$ $P(3\le X \le 8)$ $P(X<3\vee X>6)$ Zie uitwerking	Multinomiale verdeling Als een kansexperiment $k$ verschillende uitkomsten heedt met kansen $p_1, ..., p_k$ met $p_1+...+p_k=1$ op deze uitkomsten en $X$ is het aantal keren dat de uitkomst $i$ verkregen wordt in $n$ onafhankelijke uitvoeringen van het experiment, dan geldt: $ P(X_1  = x_1 ,...,X_k  = x_k ) = \left( {\begin{array}{*{20}c} n\\ {x_1,...,x_k }\\ \end{array}} \right)\cdot p_1^{x_1 }\cdot ...\cdot p_k^{x_k } $

• uitwerking

©2004-2024 W.v.Ravenstein