|
Opgave
Gegeven:
$x_t=0,2x_{t-1}+0,7y_{t-1}$
$y_t=0,8x_{t-1}+0,3y_{t-1}$
$x_0=10$ en $y_0=20$
-
Stel de directe formules op van $x_t$ en $y_t$.
|
Uitwerking
Het is een gesloten systeem dus voor elke $t$ geldt:
$x_{t-1}+y_{t-1}=30$ of ook $y_{t-1}=30-x_{t-1}$
Invullen in de eerste vergelijking geeft dit:
$x_t=0,2x_{t-1}+0,7(30-x_{t-1})$
$x_t=0,2x_{t-1}+21-0,7x_{t-1}$
$x_t=-0,5x_{t-1}+21$
Bereken het dekpunt $\overline x$
$\overline x=-0,5\overline x+21$
$1,5\overline x=21$
$\overline x=14$
De formule wordt:
$x_t=A\cdot(-0,5)^t+14$
Invullen van $x_0=10$. Dat geeft $A=-4$
De directe formule voor $x_t$ is:
$x_t=-4\cdot(-0,5)^t+14$
...en dan volgt:
$y_t=30-(-4\cdot(-0,5)^t+14)$
$y_t=4\cdot(-0,5)^t+16$
De directe formule voor $x_t$ en $y_t$ zijn:
$x_t=-4\cdot(-0,5)^t+14$
$y_t=4\cdot(-0,5)^t+16$
|
