|
Machten met negatieve exponenten
Hieronder zie je nog een keer de rekenregels voor machten:
-
a^p \cdot a^q = a^{p + q}
-
\left( {a^p } \right)^q = a^{pq}
-
\left( {ab} \right)^p = a^p \cdot b^p
-
\frac{{a^p }}
{{a^q }} = a^{p - q}
Negatieve exponenten
De laatste rekenregel verdient nog enige aandacht. Volgens deze regel zou 25 gedeeld door 25 gelijk moeten zijn aan 20. Maar er zou eigenlijk 1 uit moeten komen. Kennelijk is 20=1. Op dezelfde manier kan je aantonen:
a^0=1\,\,met\,\,a\ne0
Volgens dezelfde regel:
\frac{{2^3}}
{{2^5}}=2^{3-5}=2^{- 2}
Kennelijk kunnen exponenten negatief zijn!?
\frac{{2^3 }}
{{2^5}}=\frac{{2\cdot2\cdot 2}}
{{2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2}}=\frac{1}
{{2^2}}
Dus kennelijk is
2^{-2}=\large \frac{1}
{{2^2}}
. Meer in 't algemeen geldt:
\Large a^{-p}=\frac{1}
{{a^p}}
|
Formules met machten herleiden
De formule \eqalign{y=3(2x^2)^5·\frac{4}{x^{12}}} kun je schrijven in de vorm y=ax^n. Je gebruikt daarnbij de rekenregels voor machten.
\eqalign{
& y = 3\left( {2x^2 } \right)^5 \cdot \frac{4}
{{x^{12} }} \cr
& y = 3 \cdot 2^5 \cdot \left( {x^2 } \right)^5 \cdot 4 \cdot x^{ - 12} \cr
& y = 3 \cdot 32 \cdot x^{10} \cdot 4 \cdot x^{ - 12} \cr
& y = 384x^{ - 2} \cr}
Voorbeeld
Schrijf
y = 40 \cdot 3^{ - 2x + 1}
in de vorm y=b·g^x
Uitwerking
\eqalign{
& y = 40 \cdot 3^{ - 2x + 1} \cr
& y = 40 \cdot 3^{ - 2x} \cdot 3^1 \cr
& y = 40 \cdot \left( {3^{ - 2} } \right)^x \cdot 3 \cr
& y = 120 \cdot \left( {\frac{1}
{{3^2 }}} \right)^x \cr
& y = 120 \cdot \left( {\frac{1}
{9}} \right)^x \cr}
|
|
Formules met hogeremachtswortels
Sommige hogeremachtswortels komen mooi uit.
Zo is
\root 3 \of {125} = 5
, want 5^3=125.
Merk op dat
\root 3 \of { - 125} = - 5
. Immers (-5)^3=-125
Maar \sqrt{-9} bestaat niet, want er is geen getal dat in het kwadraat -9 oplevert. Om dezelfde reden bestaat
\root 4 \of { - 16}
niet. Een getal tot de vierde macht is niet negatief.
In 't algemeen
Bestaat
\root n \of a
?
Als a\ge0 dan ja. Voor a\lt0 alleen als n is oneven.
Rekenregel
\eqalign{\root n \of {A \cdot B} = \root n \of A \cdot \root n \of B}
|
Machten met gebroken exponenten
De rekenregels voor machten gelden ook als p en q breuken zijn. Dus je kunt bijvoorbeeld schrijven:
2^{\frac{1}
{2}} \cdot 2^{\frac{1}
{2}} = 2^1 = 2
Maar dat is hetzelfde als:
\sqrt 2 \cdot \sqrt 2 = 2
Meer in het algemeen geldt:
a^{\frac{1}
{q}} = \root q \of a \,\,\,en\,\,\,a^{\frac{p}
{q}} = \root q \of {a^p } \,\,\,met\,\,a > 0
Door gebruik te maken van deze regel kan je soms handig rekenen, herleiden en vereenvoudigen.
|
