|
Lineaire differentievergelijking van de tweede orde
Een recursieve formule van de vorm:
$u_n=a\cdot u_{n-1}+b\cdot u_{n-2}$ met $b\ne 0$
is een lineaire differentievergelijking van de tweede orde. De term $u_n$ is uitgedrukt in de twee voorafgaande termen.
Voor het opstellen van de directe formule van de rij substitueer je $u_n=g^n$ in de differentievergelijking.
Voorbeeld 1
Gegeven:
$u_n=u_{n-1}+2u_{n-2}$ met $u_0=5$ en $u_1=4$
Zie uitwerking voorbeeld 1
|
Opstellen van de directe formule
Het opstellen van de directe formule bij de rij
-
$u_n=a\cdot u_{n-1}+b\cdot u_{n-2}$
met startwaarden $u_0$ en $u_1$:
-
Substitueren van $u_n=g^n$ geeft de karakteristieke vergelijking
$g^2-ag-b=0$ met $D=a^2+4b$
-
Is $D\gt0$ dan zijn er twee reële oplossingen $g_1$ en $g_2$ en is de directe formule van de vorm:
$u_n=A\cdot(g_1)^n+B\cdot(g_2)^n$
-
Is $D=0$ dan is er één reële oplossing $g$ en is de directe formule van de vorm:
$u_n=(A+Bn)\cdot g^n$
-
Is $D\lt0$ dan zijn er geen reële oplossingen.(*)
-
Je berekent $A$ en $B$ met behulp van de startwaarden $u_0$ en $u_1$
|
|
Stelsels differentievergelijkingen
Beschouw een stelsel van lineaire differentievergelijkingen van deze vorm:
$
\left\{ \begin{array}{l}
x_n=a\cdot x_{n-1}+b\cdot y_{n-1}\\
y_n=c\cdot x_{n-1}+d\cdot y_{n-1}\\
\end{array} \right.
$
Hieruit kan je een lineaire differentievergelijking van de tweede orde afleiden. Met behulp van de startwaarden $x_0$ en $y_0$ kan je een directe formule opstellen.
|
Voorbeeld 2
Gegeven is het volgende stelsel differentievergelijkingen met $x_0=10$ en $y_0=20$:
$
\left\{ \begin{array}{l}
x_n=x_{n-1}+2y_{n-1}\\
y_n=-x_{n-1}+4y_{n-1}\\
\end{array} \right.
$
Stel de directe formule op van $x_n$
|
