H. De parabool als conflictlijn

Gegeven is de parabool $y^2-4y-6x-20=0$

• Geef het brandpunt en de richtlijn en schets de parabool.

Uitwerking

$
\eqalign{
  & y^2  - 4y - 6x - 20 = 0  \cr
  & \left( {y - 2} \right)^2  - 4 = 6x + 20  \cr
  & \left( {y - 2} \right)^2  = 6x + 24  \cr
  & \left( {y - 2} \right)^2  = 6(x + 4) \cr}
$

Dat was de parabool $y^2=6x$  met brandpunt $F(1\frac{1}{2},0)$ en richtlijn $x= -1\frac{1}{2}$. Die is $2$ omhoog en $4$ naar links geschoven. De top wordt $(-4,2)$  het brandpunt wordt  $(-2\frac{1}{2}, 2)$ en de richtlijn $x = -5\frac{1}{2}$

Een parabool is de verzameling van alle punten met gelijke afstanden tot een punt en een lijn.

De parabool met brandpunt $F(\frac{1}{2}p,0)$ en richtlijn $l:x=\frac{1}{2}p$ heeft vergelijking $y^2=2px$.
Je kunt $(y-b)^2=2p(x-a)$ beschouwen als een translatie over de vector $ \left( {\begin{array}{*{20}c}
   a  \\
   b  \\
\end{array}} \right)
$ van $y^2=2px$. Er geldt:

• Top $(a,b)$
• Brandpunt $F(\frac{1}{2}p+a,b)$
• Richtlijn $l:x=-\frac{1}{2}p+a$

Voorbeeld

Gegeven: $y^2+8y=6x+2$

• Geef de coördinaten van het brandpunt en een vergelijking van de richtlijn.

Uitgewerkt

$
\eqalign{
  & y^2  + 8y = 6x + 2  \cr
  & (y + 4)^2  - 16 = 6x + 2  \cr
  & (y + 4)^2  = 6x + 18  \cr
  & (y + 4)^2  = 6(x + 3)  \cr
  & p = 3  \cr
  & Top( - 3, - 4) \cr}
$

• Brandpunt $F(-1\frac{1}{2},-4)$
• Richtlijn $l:x=-4\frac{1}{2}$

Zie de parabool