De parabool als conflictlijn 3

Gegeven een parabool met top $(0,0)$ en brandpunt $F(0,p)$. De richtlijn $r$ heeft als vergelijking $r:y=-p$. Voor een willekeurig punt $P$ op de parabool geldt:

$
\eqalign{
  & d(P,F) = d\left( {P,r} \right)  \cr
  & \sqrt {x^2  + (y - p)^2 }  = p + y  \cr
  & x^2  + (y - p)^2  = \left( {p + y} \right)^2   \cr
  & x^2  + y^2  - 2py + p^2  = p^2  + 2py + y^2   \cr
  & x^2  = 4py \cr}
$

• Brandpunt en richtlijn van een parabool

Je kunt $
(x - a)^2  = 4p(y - b)
$ opvatten als een translatie van $x^2=4py$ over de vector $
\left( {\begin{array}{*{20}c}
   a  \\
   b  \\
\end{array}} \right)
$. Er geldt:

• Top $(a,b)$
• Brandpunt $F(a,p+b)$
• Richtlijn $r:y=-p+b$

Voorbeeld

Gegeven $y=\frac{1}{4}x^2-x+2$.

• Geef de coördinaten van het brandpunt en een vergelijking van de richtlijn.

Uitgewerkt

$
\eqalign{
  & y = \frac{1}
{4}x^2  - x + 2  \cr
  & x^2  - 4x + 8 = 4y  \cr
  & \left( {x - 2} \right)^2  + 4 = 4y  \cr
  & (x - 2)^2  = 4y - 4  \cr
  & (x - 2)^2  = 4(y - 1)  \cr
  & p = 1 \cr}
$

• Top(2,1)
• Brandpunt $F(2,2)$
• Richtlijn $r:y=0$

Dat kan ook...

• Brandpunt en richtlijn van een parabool