2. de afgeleide van machtsfuncties

De afgeleide van f(x)=xn Algemeen: De afgeleide van $f(x)=x^n$ is: $f'(x)=n\cdot x^{n - 1}$ voor $n \in R$. Daarmee kan je de afgeleide bepalen van gebroken functies en wortelfuncties: $ \eqalign{   & f(x) = \frac{1} {{x^2 }}  \cr   & g(x) = \sqrt x   \cr   & h(x) = \frac{2} {{\root 3 \of {x^2 } }}  \cr   & k(x) = \frac{{x^3  - 4}} {{3x}} \cr} $ Zie voorbeelden uitgewerkt	Raaklijnen en toppen bij gebroken functies Bij functies met gebroken vergelijking kan je de afgeleide gebruiken om raaklijnen, raakpunten en extremen te berekenen. Voorbeeld Gegeven $\eqalign{f(x)=\frac{{x^3-1}}{x}}$ In welke punten is de richtingscoëfficiënt van de raaklijn gelijk aan 3? Bereken de extreme waarde(n). Zie uitgewerkt voorbeeld
De afgeleide van f(x)=xn voor elke n van R De afgeleide van $f(x)x^n$ is $f'(x)=nx^{n-1}$ voor elke $n$ van $R$ Afspraak Bij het differentiëren mag je in het antwoord alleen gebroken exponenten laten staan als de functie zelf ook met gebroken exponenten is gegeven.	Stappenplan: Zet eerst de wortels om in gebroken exponenten. Zet de machten in de noemer in de teller. Die worden dan negatief. Schrijf in de standaardvorm. Dan kan je met de hoofdregel differentieren. Zet de negatieve machten in de teller in de noemer. De exponent wordt positief. Schrijf de gebroken exponenten als wortels.

De afgeleide van $y=\sqrt{x}$ Je kunt de afgeleide van f(x)=$\sqrt{x}$ bepalen door $\sqrt{x}$ te schrijven een gebroken macht. $ \eqalign{   & f(x) = \sqrt x  = x^{\frac{1} {2}}   \cr   & f'(x) = \frac{1} {2}x^{ - \frac{1} {2}}   \cr   & f'(x) = \frac{1} {2} \cdot \frac{1} {{x^{\frac{1} {2}} }}  \cr   & f'(x) = \frac{1} {2} \cdot \frac{1} {{\sqrt x }} = \frac{1} {{2\sqrt x }} \cr} $ Maar 'echt handig' is dat niet. Je kunt ook onthouden dat de afgeleide van $\sqrt{x}$ gelijk is aan $\eqalign{\frac{1}{{2\sqrt x }}}$. Wij noemen dat dan een standaard afgeleide.

Voorbeelden $ \eqalign{   & f(x) = \root 7 \of {x^{16} }   \cr   & f(x) = x^{2\frac{2} {7}}   \cr   & f'(x) = 2\frac{2} {7}x^{1\frac{2} {7}}   \cr   & f'(x) = 2\frac{2} {7}\root 7 \of {x^9 }  \cr} $ $ \eqalign{   & f(x) = \frac{3} {{x^3 }}  \cr   & f(x) = 3x^{ - 3}   \cr   & f'(x) = 3 \cdot  - 3x^{ - 4}   \cr   & f'(x) =  - 9x^{ - 4}   \cr   & f'(x) =  - \frac{9} {{x^4 }} \cr} $

de afgeleide van een derdemachts wortel
uitgewerkt voorbeeld
voorbeelden uitgewerkt