De parabool als conflictlijn 4

Gegeven is de parabool met top $(0,0)$ en brandpunt $F(p,0)$. De richtlijn $r$ heeft als vergelijking $r:x=-p$. Voor een willekeurig punt $P$ op de parabool geldt:

$
\eqalign{
  & d\left( {P,F} \right) = d\left( {P,r} \right)  \cr
  & \sqrt {(x - p)^2  + y^2 }  = p + x  \cr
  & (x - p)^2  + y^2  = \left( {p + x} \right)^2   \cr
  & x^2  - 2px + p^2  + y^2  = p^2  + 2px + x^2   \cr
  & y^2  = 4px \cr}
$

Je kunt $(y-b)^2=4p(x-a)$ opvatten als een translatie van $y^2=4px$ over de vector $
\left( {\begin{array}{*{20}c}
   a  \\
   b  \\
\end{array}} \right)
$. Er geldt:

  • Top $(a,b)$
  • Brandpunt $F(p+a,b)$
  • Richtlijn $r:x=-p+a$

Voorbeeld

Gegeven $
4y + 4x - x^2  - 16 = 0
$

  • Geef de coördinaten van het brandpunt en een vergelijking van de richtlijn.

Uitgewerkt

$
\eqalign{
  & 4x + 4y - y^2  - 16 = 0  \cr
  & y^2  - 4y = 4x - 16  \cr
  & (y - 2)^2  - 4 = 4x - 16  \cr
  & \left( {y - 2} \right)^2  = 4x - 12  \cr
  & \left( {y - 2} \right)^2  = 4\left( {x - 3} \right)  \cr
  & p = 1 \cr}
$

  • Top $(3,2)$
  • Brandpunt $F(4,2)$
  • Richtlijn $r:x=2$

q14222img2.gif

©2004-2020 Wiskundeleraar - login