2. hogeregraadsvergelijkingen

Het aantal oplossingen van xⁿ=a

n is even a$>$0 2 oplossingen	n is oneven a$>$0 1 oplossing
n is even a$<$0 geen oplossing	n is oneven a$<$0 1 oplossing

Voorbeelden

$ \eqalign{ &x^6=80\cr &x=\root6\of{80}\vee x=-\root6\of{80}\cr &x\approx2,08\vee x\approx-2,08\cr} $

$ \eqalign{ &2x^7=20\cr &x^7=10\cr &x=\root7\of{10}\approx1,39\cr} $

$ \eqalign{ &4x^{10}+10=6\cr &4x^{10}=-4\cr &x^{10}=-1\cr} $ geen oplossing

$ \eqalign{ &\frac{2} {3}x^3=-2\cr &x^3=-6\cr &x=\root3\of{-6}\approx-1,82\cr} $

Hogeremachtswortels herleiden Wortels die mooi uitkomen moet je herleiden. Bij het algebraisch oplossen van de vergelijking $3(2x+1)^6=192$ ga je net zo te werk als bij het oplossen van $3x^6=192$. $ \eqalign{   & 3\left( {2x + 1} \right)^6  = 192  \cr   & \left( {2x + 1} \right)^6  = 64  \cr   & 2x + 1 = 2 \vee 2x + 1 =  - 2  \cr   & 2x = 1 \vee 2x =  - 3  \cr   & x = {1 \over 2} \vee x =  - 1{1 \over 2} \cr} $

Hogeregraadsvergelijkingen en ontbinden in factoren Vergelijkingen als 12x4=2x3 kan je oplossen met behulp van ontbinden in factoren. Voorbeeld $ \eqalign{ &12x^4=2x^3\cr &12x^4-2x^3=0\cr &2x^3\left({6x-1}\right)=0\cr &2x^3=0\vee6x-1=0\cr &x^3=0\vee6x=1\cr &x=0\vee x=\frac{1} {6}\cr} $

Hogeregraadsvergelijkingen en substitutie De vergelijking $x^4-x^2-2=0$ is algebraisch op te lossen met een substitutie. Neem voor $x^2$ bijvoorbeeld $y$. Je krijgt dan: $x^4-x^2-2=0$ Neem $y=x^2$ $y^2-y-2=0$ $(y-2)(y+1)=0$ $y=2$ of $y=-1$ Nu weer terug $x^2=2$ of $x^2=-1$ (v.n) $x=-\sqrt{2}$ of $x=\sqrt{2}$

Voorbeeld 2 $ \eqalign{ &2x^7-4x^3=0\cr &2x^3\left({x^4-2}\right)=0\cr &2x^3=0\vee x^4-2=0\cr &x^3=0\vee x^4=2\cr &x=0\vee x=\root4\of2\vee x=-\root4\of2\cr} $

• voorbeeldopgave
• waarom wel en waarom niet?

©2004-2024 W.v.Ravenstein