Actueel
Archief
Culinair
Didactiek
Documentatie
Etalage
Formules
Fotoboeken
Functies
Geschiedenis
ICT
ICTauteur
Laatste nieuws
Lesmateriaal
Muziek
Natuur
Onderwijs
Ontspanning
Persoonlijk
Probleemaanpak
Proeftuin
Puzzels
Rekenen
Rekenmachines
Ruimtemeetkunde
Schoolwiskunde
Snippers
Systeem
Taal van de wiskunde
Vergelijkingen
Verhalen
WisFaq
WisKast




4. stelsels differentievergelijkingen

Prooi-roofdiermodellen

Bij een prooi-roofdiermodel hoort een stelsel van twee differentievergelijkingen.

In het model hieronder is $P_t$ het aantal prooidieren op tijdstip $t$ en $R_t$ is het aantal roofdieren op tijdstip $t$:

$P_t=a\cdot P_{t-1}+b\cdot R_{t-1}\cdot P_{t-1}$
$R_t=c\cdot R_{t-1}+d\cdot P_{t-1}\cdot R_{t-1}$

Met gegeven startwaarden $P_0$ en $R_0$ kan je het model doorrekenen met je GR. Je kunt een tijdgrafiek of een prooi-roofdierdiagram tekenen.

Evenwichtswaarden

Bij het model kan je de evenwichtswaarden $\overline P$ en $\overline R$ als volgt berekenen:

Uit $\overline R=c\cdot\overline R+d\cdot\overline P\cdot\overline R$ volgt door delen door $\overline R$:

  • $1=c+d\cdot\overline P$

Hieruit volgt dan $\overline P$

Uit $\overline P=a\cdot\overline P+b\cdot\overline R\cdot\overline P$ volgt dan $\overline R$.

Een model van een griepepidemie

Het verloop van een griepepidemie kan beschreven worden met het model hieronder. Hierin is $G_t$ het aantal mensen dat op tijdstip $t$ nog niet de griep heeft gehad. $Z_t$ is het aantal mensen dat ziek is op tijdstip $t$. $I_t$ is het aantal mensen dat op tijdstip $t$ immuun is.

$G_t=G_{t-1}-a\cdot G_{t-1}\cdot Z_{t-1}$
$Z_t=Z_{t-1}+a\cdot G_{t-1}\cdot Z_{t-1}-b\cdot Z_{t-1}$
$I_t=I_{t-1}+b\cdot Z_{t-1}$

Bij gegeven startwaarden $G_0$, $Z_0$ en $I_0$ kan je dan met je GR van alles ondernemen.

q10754img1.gif

Directe formules bij een stelsel differentievergelijkingen

Hieronder zie je een voorbeeld van een stelsel van differentievergelijkingen:

$x_t=0,2x_{t-1}+0,7y_{t-1}$
$y_t=0,8x_{t-1}+0,3y_{t-1}$

Gegeven $x_0=10$ en $y_0=20$ kan je directe formules afleiden voor $x_t$ en $y_t$.

Je kunt zien dat er sprak is van een gesloten systeem omdat zowel de coëfficiënten van $x_{t-1}$ als de coëfficiënten van $y_{t-1}$ samen 1 zijn. Omdat het systeem gesloten is blijft $x_t+y_t$ constant.

Zie uitwerking

Voorbeeld

Gegeven is het prooi-roofdiermodel:

$
\left\{ \begin{array}{l}
P_t=1,1\cdot P_{t-1}-0,0005\cdot P_{t-1}\cdot R_{t-1}\\
R_t=0,85\cdot R_{t-1}+0,0003\cdot P_{t-1}\cdot R_{t-1}\\
\end{array} \right.
$

  1. Neem $P_0 = 500$ en $R_0=200$
    Verklaar het verloop van de aantallen roofdieren en prooidieren.
  2. Neem $P_0=500$ en $R_0=100$
    Bereken wanneer het totaal aantal dieren (prooidieren én roofdieren) voor het eerst meer dan 1000 is.

©hhofstede.nl

Zie uitwerking 2

©2004-2024 W.v.Ravenstein