G. De afgeleide van een logaritmische functie


Opgave

Gegeven  $f(x)= \ln(x^2-6x) - \ln(x)$

  • Bepaal de afgeleide.

Uitwerking

In eerste instantie zou dit een mogelijke uitwerkingen kunnen zijn:

$
\eqalign{
  & f(x) = \ln (x^2  - 6x) - \ln (x)  \cr
  & f'(x) = \frac{1}
{{x^2  - 6x}} \cdot \left( {2x - 6} \right) - \frac{1}
{x}  \cr
  & f'(x) = \frac{{2x - 6}}
{{x^2  - 6x}} - \frac{1}
{x}  \cr
  & f'(x) = \frac{{2x - 6}}
{{x^2  - 6x}} \cdot \frac{x}
{x} - \frac{1}
{x} \cdot \frac{{x^2  - 6x}}
{{x^2  - 6x}}  \cr
  & f'(x) = \frac{{2x^2  - 6x}}
{{x\left( {x^2  - 6x} \right)}} - \frac{{x^2  - 6x}}
{{x\left( {x^2  - 6x} \right)}}  \cr
  & f'(x) = \frac{{x^2 }}
{{x^2 \left( {x - 6} \right)}}  \cr
  & f'(x) = \frac{1}
{{x - 6}} \cr}
$

Je gebruikt daarbij de standaard afgeleide, onder één noemer zetten en breuken vereenvoudigen. Daar is niets mis mee, maar het kan handiger en sneller:

$
\eqalign{
  & f(x) = \ln (x^2  - 6x) - \ln (x)  \cr
  & f(x) = \ln \left( {\frac{{x^2  - 6x}}
{x}} \right)  \cr
  & f(x) = \ln \left( {x - 6} \right)  \cr
  & f'(x) = \frac{1}
{{x - 6}} \cr}
$


Toelichting

De vraag is wat bij deze opgave het leerdoel is. Gaat het om het toepassen van de basisvaardigheden rondom het differentiëren en herleiden? 't Had een mooie gelegenheid kunnen zijn nog 's te kijken naar onder één noemer zetten en herleiden.

Maar je kan het ook opvatten als het toepassen van de rekenregels voor de logaritmen en het idee dat het bij (ook) bij de afgeleide handig kan zijn om het functievoorschrift voor het differentiëren anders te schrijven als dat handig is.


Begrip en inzicht

Voor deze opgave is nodig de afgeleide van de logaritmische functie en de kettingregel. Daarnaast zou je van deze opgave kunnen leren dat je altijd even moet kijken of je niet iets kan doen met het functievoorschrift waardoor het berekenen gemakkelijk en/of sneller kan. Dat geldt zeker voor logaritmen...


©2004-2019 W.v.Ravenstein