Hoofdstuk 1

Basisregels voor het werken met verzamelingen

• A \subseteq B betekent \left( {\forall x} \right)\left( {x \in A \Rightarrow x \in B} \right)
• A = B \Leftrightarrow \left( {A \subseteq B \wedge B \subseteq A} \right)
• De basiseigenschap voor \emptyset is \left( {\forall x} \right)\left( {x \notin \emptyset } \right)

De vijf basisregels en een speciale verzameling

---

(P1) Paarvorming: Als x en y objecten zijn dan bestaat een verzameling X zodat voor elke z geldt:

z \in X \Leftrightarrow \left( {z = x \vee z = y} \right)

De verzameling X is, wegens het extensionaliteitsaximo, uniek. We noteren deze als \lt x,y \gt en we noemen dit een ongeordend paar.

Hiermee definieren we het geordende paar $$ als volgt:

 < x,y >  = \{ \{ x\} ,\{ x,y\} \}

We noemen x de eerste coördinaat van $ en y$ de tweede coördinaat.

---

(P2) Vereniging: Als A en B verzamelingen zijn dan bestaat een verzameling C zo dat voor elke z geldt:

z \in C \Leftrightarrow (z \in A \vee z \in B)

We schrijven C = A \cup B en noemen dit de  vereniging van A en B.

---

(P3) Product: Als A en B verzamelingen zijn dan bestaat een verzameling D zo dat voor elke z geldt:

z \in D \Leftrightarrow (\exists x \in A)(\exists y \in B)(z =  < x,y > )

We noteren dit als A \times B en noemen dit het cartesisch product van A en B.

---

(P4) Machtsverzameling: Als A een verzameling is dan bestaat een verzameling E zo dat voor elke z geldt:

z \in E \Leftrightarrow z \subseteq A

We noteren als \mathcal{P}(A) en noemen deze de machtsverzameling van A.

---

(P5) Afscheiding: Als A een verzameling is ern V eem eigenschap (een eerste-orde formule met een vrije variabele) dan bestaat een verzameling F zodat voor elke z geldt:

z \in F \Leftrightarrow \left( {z \in A \wedge V\left( z \right)} \right)

We noemen dat de verzemeling F verkregen wordt door alle elementen van A met eigenschap V af te scheiden:

F = \left\{ {x \in A:V\left( x \right)} \right\}

©2004-2025 W.v.Ravenstein