Antwoorden

Opgave 1
Zoek twee getallen waarvan de som gelijk is aan 7 en het product gelijk aan 10.

Dat zijn 2 en 5. Er geldt dat 2·5=10 en 2+5=7.

Opgave 2
Geef twee getallen waarvan de som gelijk is aan 10 en het product gelijk aan 7.

$
\begin{array}{l}
 \left\{ \begin{array}{l}
 a + b = 10 \\
 a \cdot b = 7 \\
 \end{array} \right. \\
 \left\{ \begin{array}{l}
 b = 10 - a \\
 a \cdot b = 7 \\
 \end{array} \right. \\
 \left\{ \begin{array}{l}
 b = 10 - a \\
 a \cdot \left( {10 - a} \right) = 7 \\
 \end{array} \right. \\
 \left\{ \begin{array}{l}
 b = 10 - a \\
 10a - a^2  = 7 \\
 \end{array} \right. \\
 \left\{ \begin{array}{l}
 b = 10 - a \\
 a^2  - 10a + 7 = 0 \\
 \end{array} \right. \\
 \end{array}
$
Oplossen van $a^2  - 10a + 7 = 0$ geeft:

$
a = 5 - 3\sqrt 2  \vee a = 5 + 3\sqrt 2
$

Controleren:

$
\begin{array}{l}
 5 - 3\sqrt 2  + 5 + 3\sqrt 2  = 10 \\
 \left( {5 - 3\sqrt 2 } \right)\left( {5 + 3\sqrt 2 } \right) = 25 - 18 = 7 \\
 \end{array}
$
Klopt!

Opgave 3
Je kunt niet twee getallen vinden waarvan de som gelijk is aan 5 en het product gelijk is aan 7. Waarom lukt dit niet?

$
\begin{array}{l}
 \left\{ \begin{array}{l}
 a + b = 5 \\
 a \cdot b = 7 \\
 \end{array} \right. \\
 \left\{ \begin{array}{l}
 b = 5 - a \\
 a \cdot b = 7 \\
 \end{array} \right. \\
 \left\{ \begin{array}{l}
 b = 5 - a \\
 a \cdot \left( {5 - a} \right) = 7 \\
 \end{array} \right. \\
 \left\{ \begin{array}{l}
 b = 5 - a \\
 5a - a^2  = 7 \\
 \end{array} \right. \\
 \left\{ \begin{array}{l}
 b = 5 - a \\
 a^2  - 5a + 7 = 0 \\
 \end{array} \right. \\
 \end{array}
$
De vergelijking $a^2  - 5a + 7 = 0$ heeft geen oplossingen.
$D = \left( { - 5} \right)^2  - 4 \cdot 1 \cdot 7 = 25 - 28 =  - 3$

Opgave 4
Bij opdracht 3 heb je gezien dat het niet mogelijk is om bij elke willekeurige som en product daadwerkelijk twee getallen te vinden. Bedenk een manier zodat je van tevoren kunt zeggen of die twee getallen bestaan of niet...

Als die twee getallen 's' en 'p' zijn dan geldt dat $
x^2  - sx + p = 0
$ oplossingen heeft. Er geldt:

$
a,b = \Large \frac{{s \pm \sqrt {s^2  - 4p} }}{2}
$

Er moet dus gelden: $
s^2  - 4p > 0
$

Opgave 5
Met behulp van wat je bij opdracht 4 gevonden hebt zou je dan ook een som en een product kunnen vinden zodat die twee getallen hetzelfde zijn? (leg uit!)

Dan moet s²=4p, dus als bijvoorbeeld p=4 dan neem je voor s=4. Dan is 2+2=4 en 2·2=4. Als s² maar gelijk is aan 4p.

Opgave 6
Zijn er twee getallen te vinden zodat de som en het product gelijk aan elkaar zijn?

Dan moet s=p zijn. Kies s>4 en er zijn steeds twee oplossingen waarbij de som en het product hetzelfde zijn.

$
s^2  - 4s > 0 \Rightarrow s < 0 \vee s > 4
$

Zouden er oplossingen bestaan voor s>4 waarbij die twee getallen gehele getallen zijn?:-)

©2004-2024 W.v.Ravenstein