Lijnstukken en wortels

In een vierkant met zijde $a$ is de lengte van een diagonaal gelijk aan $a\sqrt{2}$.

Voorbeeld

De lengte van $BE$ en $MN$ kun je snel zien. $NM$=$2\sqrt{2}$ en $BE$=$4\sqrt{2}$.

De zijde×hoogte-methode

De oppervlakte van een driehoek bereken je met

Opp($\Delta$)=$\frac{1}{2}$×zijde×hoogte

Maar dat kan op 3 manieren. Daarmee kan je soms 'handig' een onbekende zijde of onbekende hoogte berekenen.

Voorbeeld

• Bereken de lengte van $AM$

Antwoord

$BC=13$ (stelling van Pythagoras)
$5\cdot12=13\cdot AM$
$AM=4\frac{8}{13}$

De cosinusregel

• $a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bccos(\alpha)$
• $b^{2}=a^{2}+c^{2}-2accos(\beta)$
• $c^{2}=a^{2}+b^{2}-2abcos(\gamma)$

Hoeken in de ruimte

Voor het berekenen van hoeken in ruimtefiguren gebruik je het volgende werkschema:

1. Werk in een geschikte driehoek of een geschikt diagonaalvlak
2. Teken deze driehoek of dit diagonaalvlak apart
3. Bereken de gevraagde hoek door een goniometrische verhouding te gebruiken. Bereken hiervoor zo nodig eerst nog een zijde.

Hoeken en vectoren

Voor de hoek tussen de vectoren $
\underline a
$ en $
\underline b
$ geldt:

$
\cos \left( {\angle \left( {\underline a ,\underline b } \right)} \right) = \frac{{\underline a \cdot \underline b }}{{\left| {\underline a } \right| \cdot \left| {\underline b } \right|}}
$

met $
\underline a \ne \underline 0
$ en $
\underline b \ne \underline 0
$

De hoek tussen twee lijnen

Als je de hoek wilt berekenen tussen de lijn $l$ en $k$ dan bereken je de hoek $\varphi$ tussen de richtingsvectoren van $l$ en $k$. Als de hoek stomp is dan neem je $180-\varphi$.

Voorbeeld

• Bereken $\angle ENM$

Zie uitwerking