Een experiment twee of meer keer uitvoeren

Bij het vaker uitvoeren van hetzelfde kansexperiment bereken je kansen met de productregel voor anafhankelijke gebeurtenissen.

Voorbeeld 1

Timo wil zo vaak met twee dobbelstenen gooien zodat de kans op minstens één keer 'som van de ogen is 12' groter is dan $\frac{3}{4}$.

• Bereken hoe vaak Timo minstens moet gooien.

Uitwerking

• $P(X \ge 1) = 1 - \left( {\frac{{35}}{{36}}} \right)^n$

Bovendien moet gelden:

• $P(X \ge 1) > \frac{3}{4}$

Dat geeft:

• $1 - \left( {\frac{{35}}{{36}}} \right)^n  > \frac{3}{4}$

Oplossen geeft: $
n \ge 50
$

De algemene productregel

Voor de gebeurtenissen $A$ en $B$ geldt:

$
P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B|A) = P(B) \cdot P(A|B)
$

Bij het pakken van knikkers uit een vaas gebruik je de algemene productregel voor het berekenen van kansen.

Voorbeeld 2

In een vaas zitten 8 witte, 4 blauwe en 2 rode ballen. We trekken steeds drie ballen uit de vaas zonder terugleggen.

• Bereken de kans op 2 witte ballen.

Eén vraag drie uitwerkingen

1e manier
Aantal gunstige uitkomsten is 3·8·7·6=1008
Aantal mogelijke uitkomsten is 14·13·12=2184
$P({\rm{2}}\,\,{\rm{witte}})$=$\large\frac{1008}{2184}=\frac{6}{13}$

2e manier
$P(w,w,n)$ = $\large\frac{8}{14}\cdot\frac{7}{13}\cdot\frac{6}{12}=\frac{2}{13}$
$
P({\rm{2}}\,\,{\rm{witte}}) = 3 \cdot \frac{8}{{14}} \cdot \frac{7}{{13}} \cdot \frac{6}{{12}} = \frac{6}{{13}}
$

3e manier
$P({\rm{2}}\,\,{\rm{witte}})=$ $\Large\frac{{8\choose2}\cdot{6\choose1}}{{14\choose3}}$ $=\frac{6}{13}$

Zie één vraag drie uitwerkingen

Experimenten herhalen totdat succes optreedt

Je pakt één voor één knikkers uit een vaas met 3 rode en 5 witte knikkers. Je gaat net zo lang door tot je een rode knikkers pakt.

• Wat is de kans dat je 4 keer een knikker moet pakken?

Uitgewerkt

De eerste knikkers is wit, de tweede knikker is wit, de derde knikker is wit maar de vierde knikker is rood.

$
P(X = 4) = \frac{5}{8} \times \frac{4}{7} \times \frac{3}{6} \times \frac{3}{5} = \frac{3}{{28}}
$

Voorbeeld 3

In een vaas zitten 2 rode, 4 witte en 3 blauwe knikkers. Joris pakt één voor één knikkers uit de vaas. Hij gaat daar mee door totdat hij een blauwe knikker heeft.

Bereken, op 3 decimalen nauwkeurig, de kans dat Joris:

1. 4 knikkers pakt
2. minstens 4 knikkers pakt
3. minder dan 4 knikkers pakt

Antwoorden

1. $P(X = 4) = \frac{6}{9} \times \frac{5}{8} \times \frac{4}{7} \times \frac{3}{6} \approx 0,119$
2. $P(X \ge 4) = \frac{6}{9} \times \frac{5}{8} \times \frac{4}{7} \approx 0,238$
3. $P(X < 4) \approx 1 - 0,238 = 0,762$

Met terugleggen

Dezelfde vragen, maar dan met met terugleggen:

1. $
   P(x = 4) = \left( {\frac{6}{9}} \right)^3\cdot \frac{3}{9} \approx 0,099
   $
2. $
   P(X \ge 4) = \left( {\frac{6}{9}} \right)^3\approx 0,296
   $
3. $
   P(X < 4) = 1 - 0,296 = 0,704
   $