Trekken met en zonder terugleggen

Tot nu toe had je bij het vaasmodel slechts te maken met trekken zonder terugleggen. Maar het vaasmodel kan ook met terugleggen.

In plaats van 'pak 4 knikkers zonder terugleggen' zeggen we ook wel 'pak 4 knikkers' of 'pak in één greep 4 knikkers' uit een vaas.

Als er niets bij staat over 'met' of 'zonder' terugleggen dan wordt 'zonder terugleggen' bedoeld.

Voorbeeld 1

Je hebt een vaas met 6 rode en 5 zwarte knikkers. Je pakt 4 knikkers. Bereken de kans op 1 zwarte knikkers:

1. Met terugleggen
2. Zonder terugleggen

Uitwerking

1. $
   P(X = 1) = \left( {\begin{array}{*{20}c}
   4\\
   1\\
   \end{array}} \right) \cdot \frac{5}{{11}}\cdot \left( {\frac{6}{{11}}} \right)^3  \approx 0,295
   $
2. $
   P(X = 1) = \left( {\begin{array}{*{20}c}
   4\\
   1\\
   \end{array}} \right) \cdot \frac{5}{{11}}\cdot \frac{6}{{10}} \cdot \frac{5}{9} \cdot \frac{4}{8} \approx 0,303
   $

Alternatief

Bij 'zonder terugleggen' kan het ook zo:

$
P(X = 1) = \frac{{\left( {\begin{array}{*{20}c}
5\\
1\\
\end{array}} \right) \cdot \left( {\begin{array}{*{20}c}
6\\
3\\
\end{array}} \right)}}{{\left( {\begin{array}{*{20}c}
{11}\\
4\\
\end{array}} \right)}} \approx 0,303
$

Kleine steekproef uit grote populatie

Bij een kleine steekproef uit een grote populatie mag je trekken zonder terugleggen opvatten als trekken met terugleggen.

Je gaat er van uit dat de kans op 'succes' nauwelijk verandert als de steekproef relatief klein is ten opzichte van de populatie.

Voorbeeld 2

Van de Nederlanders gaat jaarlijks 17% op vakantie naar Frankrijk en 15% naar Duitsland. Bereken de kans dat er bij een willekeurige groep van 12 Nederlanders:

1. er niemand naar Frankrijk gaat
2. er precies 2 naar Frankrijk gaan
3. er 7 naar Frankrijk gaan en niemand naar Duitsland

Antwoorden

1. $
   0,83^{12}  \approx 0,107
   $
2. $
   \left( {\begin{array}{*{20}c}
      {12}  \\
      2  \\
   \end{array}} \right) \cdot 0,17^2  \cdot 0,83^{10}  \approx 0,296
   $
3. $
   \left( {\begin{array}{*{20}c}
      {12}  \\
      7  \\
   \end{array}} \right) \cdot 0,17^7  \cdot 0,68^5  \approx 0,0005
   $

Zie terugblik op blz 81 van je boek