Differentievergelijking

Gegeven:

$
x_n=5x_{n-1}-6x_{n-2}
$

Met $x_0=10$ en $x_1=50$, geef de directe formule.

Uitwerking

De karakteristieke vergelijking oplossen geeft:

$g^2-5g+6=0$
$(g-2)(g-3)=0$
$g=2\vee g=3$

Dus $x_n=A\cdot 2^n+B\cdot 3^n$

$x_0=10$ geeft $A+B=10$
$x_1=50$ geeft $2A+3B=50$

$
\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
A + B = 10 \\
2A + 3B = 50 \\
\end{array} \right. \\
\left\{ \begin{array}{l}
2A + 2B = 20 \\
2A + 3B = 50 \\
\end{array} \right. \\
\left\{ \begin{array}{l}
B = 30 \\
A =-20 \\
\end{array} \right. \\
\end{array}
$

De directe formule is:

• $x_n=-20\cdot2^n+30\cdot3^n$