Opgave

Gegeven:

$x_t=0,2x_{t-1}+0,7y_{t-1}$
$y_t=0,8x_{t-1}+0,3y_{t-1}$

$x_0=10$ en $y_0=20$

• Stel de directe formules op van $x_t$ en $y_t$.      

Uitwerking

Het is een gesloten systeem dus voor elke $t$ geldt:

$x_{t-1}+y_{t-1}=30$ of ook $y_{t-1}=30-x_{t-1}$

Invullen in de eerste vergelijking geeft dit:

$x_t=0,2x_{t-1}+0,7(30-x_{t-1})$
$x_t=0,2x_{t-1}+21-0,7x_{t-1}$
$x_t=-0,5x_{t-1}+21$

Bereken het dekpunt $\overline x$

$\overline x=-0,5\overline x+21$
$1,5\overline x=21$
$\overline x=14$

De formule wordt:

$x_t=A\cdot(-0,5)^t+14$

Invullen van $x_0=10$. Dat geeft $A=-4$

De directe formule voor $x_t$ is:

$x_t=-4\cdot(-0,5)^t+14$

...en dan volgt:

$y_t=30-(-4\cdot(-0,5)^t+14)$
$y_t=4\cdot(-0,5)^t+16$

De directe formule voor $x_t$ en $y_t$ zijn:

$x_t=-4\cdot(-0,5)^t+14$
$y_t=4\cdot(-0,5)^t+16$