Oplossen met de abc-formule

Een tweedegraadsvergelijking oplossen met abc-formule gaat zo:

1. Schrijf de vergelijking in de vorm $ax^2+bx+c=0$
2. Vermeld $a$, $b$ en $c$
3. Bereken de discriminant $D=b^2-4ac$
4. De oplossingen zijn $\eqalign{x=\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}}$ en $\eqalign{x=\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}}$

Voorbeeld

Los op: $6x^2-11x-10=0$

$6x^2-11x-10=0$
$a=6$, $b=-11$ en $c=-10$
$D=(-11)^2-4·6·-10=121+240=361$
$\eqalign{x=\frac{11-\sqrt{361}}{2·6}}$ of $\eqalign{x=\frac{11+\sqrt{361}}{2·6}}$
$\eqalign{x=\frac{11-19}{12}}$ of $\eqalign{x=\frac{11+19}{12}}$
$\eqalign{x=\frac{-8}{12}}$ of $\eqalign{x=\frac{30}{12}}$
$\eqalign{x=-\frac{2}{3}}$ of $\eqalign{x=2\frac{1}{2}}$

Oplossingen benaderen

Als je de abc-formule toepast dan komt $\sqrt{D}$ niet altijd mooi uit. Voor een exact antwoord laat je de wortel staan. Soms wordt er een benadering gevraagd. Dat doe je dan op 't laatst met de rekenmachine.

Voorbeeld

Los op: $x^2=3x+1$. Geef de oplossing in twee decimalen nauwkeurig.

Uitwerking

• $x^2=3x+1$
  $x^2-3x-1=0$
  $a=1$, $b=-3$ en $c=-1$
  $D=(-3)^2-4·1·-1=9+4=13$
  $\eqalign{x=\frac{3-\sqrt{13}}{2}\approx-0,30}$
  of
  $x=\eqalign{\frac{3+\sqrt{13}}{2}\approx3,30}$

Als D=0

Als $D=0$ dan heb je niet 2 oplossingen maar slechts 1 oplossing.

Los op:

• $4x^2+9=12x$

Uitwerken

• $4x^2+9=12x$
  $4x^2-12x+9=0$
  $a=4$, $b=-12$ en $c=9$
  $D=(-12)^2-4·4·9=0$
  $\eqalign{x=\frac{12}{2·4}=1\frac{1}{2}}$

Als D<0

Als $D\lt0$ dan heb je geen oplossing.

Los op:

• $5x(5x+2)=-2$

Uitwerken

• $5x(5x+2)=-2$
  $25x^2+10x+2=0$
  $a=25$, $b=10$ en $c=2$
  $D=10^2-4·25·2=-100$
  $D\lt0\to$ geen oplossing