Kwadratische vergelijkingen

Als je niet de abc-formule wilt gebruiken dan kan je:

• direct oplossen (indien mogelijk)
• ontbinden in factoren
  • $x$ buiten haakjes halen
  • product-som-methode
• kwadraatafsplitsen

Voorbeelden

Los op zonder abc-formule:

1. $x^2-12=0$
2. $x^2-12x=0$
3. $x^2-12x+32=0$
4. $x^2-12x-12=0$
5. $(5-6x)(3x+1)=6$
6. $(x+2)^2=(x-3)^2$

Zie opgeloste vergelijkingen voor de uitwerkingen...

Bijzonder situatie bij kwadratische ongelijkheden

Van de vergelijking $ax^2+bx+c=0$ is de discriminant gelijk aan:

$D=b^2-4ac$

Hieronder zie je enkele bijzondere situaties die kunnen optreden bij kwadratsche ongelijkheden.

Ongelijkheden

Ongelijkheden van de vorm $x^2\lt c$ en $x^2\gt c$ kun je 'direct' oplossen. Een ongelijkheid als $x^2\gt10$ heeft als oplossing $x\lt-\sqrt{10}\vee x>\sqrt{10}$.

Denk aan de grafiek en je schrijft het antwoord zo op.

Voorbeeld

Los op:

1. $x^2\gt3$
2. $3x^2\lt6$
3. $2x^2-8\gt0$

Opgeloste ongelijkheden

a.
$x^2\gt3$
$x\lt-\sqrt{3}\vee x\gt\sqrt{3}$

b.
$3x^2\lt6$
$x^2\lt2$
$-\sqrt{2}\lt x\lt \sqrt{2}$

c.
$2x^2-8\gt0$
$2x^2\gt8$
$x^2\gt4$
$x\lt-2\vee x\gt2$

Wortels herleiden bij exact oplossen

Sommige wortels kan je herleiden. Zo is $\sqrt{24}$ gelijk aan $2\sqrt{6}$ en $\sqrt{18}=3\sqrt{2}$.

Soms zijn er meer mogelijkheden maar dan neem je altijd een zo groot mogelijke factor:

• $\sqrt{32}=2\sqrt{8}$
• $\sqrt{32}=4\sqrt{2}$

Afspraak bij exact oplossen

1. wortels als $\sqrt{10}$ of $\sqrt{7}$ laat je staan, maar $\sqrt{9}=3$ en $\sqrt{64}=8$.
2. Een wortel als $\sqrt{18}$ herleid je tot $3\sqrt{2}$

In de praktijk

Om wortels te vereenvoudigen moet je het getal onder het wortelteken delen door een zo groot mogelijk kwadraat. Het is derhalve wel handig om een aantal kwadraten uit je hoofd te kennen:

$4, 9, 16, 35, 46, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196, 225, ...$

Waarom?

Het is gebruikelijk om bij wortels geen breuken onder het wortelteken te laten staan en ook geen wortels in de noemer te laten staan. Net als bij alle 'gewoonten' zou je natuurlijk af kunnen vragen waar dat dan wel voor nodig is? Wat is daar nu het nut van?

• waarom zou je wortels vereenvoudigen en herleiden?