Kwadratische vergelijkingen oplossen

Voor het oplossen van kwadratische vergelijkingen heb je twee manieren geleerd:

1. Met ontbinden in factoren
2. Met kwadraatafsplitsen

Oplossen met de abc-formule

Met de abc-formule kan je elke tweedegraadsvergelijing oplossen. Soms (maar niet altijd) kan dat handig zijn.

Aanpak

Een tweedegraadsvergelijking oplossen met abc-formule gaat zo:

1. Schrijf de vergelijking in de vorm $ax^2+bx+c=0$
2. Vermeld $a$, $b$ en $c$
3. Bereken de discriminant $D=b^2-4ac$
4. De oplossingen zijn $\eqalign{x=\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}}$ en $\eqalign{x=\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}}$

Het aantal oplossingen van een kwadratische vergelijking

Als je de abc-formule toepast dan komt $\sqrt{D}$ niet altijd mooi uit. Voor een exact antwoord laat je de wortel staan. Soms wordt er een benadering gevraagd. Dat doe je dan op 't laatst met de rekenmachine.

Als D=0

Als $D=0$ dan heb je niet 2 oplossingen maar slechts 1 oplossing.

Als D<0

Als $D\lt0$ dan heb je geen oplossing.

De ligging van een parabool ten opzichte van de x-as

Om de coördinaten van de snijpunten van de parabool $y=ax^2+bx+c$ met de $x$-as te berekenen los je de vergelijking $ax^2+bx+c=0$ op.

Het aantal oplossingen kan twee, één of nul zijn. Dat aantal hangt af van de discriminant:

• $D\lt0$: geen oplossingen
• $D=0$: één oplossing
• $D\gt0$: twee oplossingen

Functies met een parameter (B)

In $f(x)=x^2+4x+p$ heet $p$ een parameter. Een parameter is een hulpvariabele. Je hebt dan te maken met een 'familie van functies'. Voor elke waarde van $p$ een andere functie.

Voorbeeld

Gegeven $f(x)=2x^2-6x+p$. Voor welke waarde van $p$ raakt de grafiek van $f$ de $x$-as?

• Bereken de snijpunten van $f$ met de $x$-as. Als $f$ raakt aan de $x$-as dan zou dat precies één  snijpunt moeten opleveren,
  $2x^2-6x+p=0$
  $a=2$, $b=-6$ en $c=p$
  $D=(-6)^2-4·2·p=36-8p$
  Er geldt dat $D=0$
  $36-8p=0$
  $8p=36$
  $p=4\frac{1}{2}$