Substitueren

Substitueren is een ander woord voor 'invullen'. Om te bepalen wat $f(p+3)$ is kan je bij $f(x)=3x^2-2x+6$ voor $x$ de waarde $p+3$ invullen. Je krijgt dan:

$f(p+3)=3(p+3)^2-2(p+3)+6$
$f(p+3)=3(p^2+6x+9)-2p-6+6$
$f(p+3)=3p^2+18p+27-2p$
$f(p+3)=3p^2+16p+27$

Toppen en parameters

In $f(x)=2x^2+12px+3p$ heet $p$ de parameter. Voor elke $p$ ontstaat een andere functie. Ondanks of dankzij de parameter kan je van alles uitrekenen.

$\eqalign{x_{top}=-\frac{12p}{2·2}=-\frac{12p}{4}=-3p}$

$y_{top}=f(-3p)=2(-3p)^2+12p·-3p+3p$
$y_{top}=2·9p^2-36p^2+3p$
$y_{top}=18p^2-36p^2+3p$
$y_{top}=-18p^2+3p$

Hiermee heb je $y_{top}$ uitgedrukt in $p$.

Parameters berekenen bij een gegeven situatie

De grafiek van een kwadratische functie $f(x)=ax^2+bx+c$

• snijdt de $x$-as als $D\gt0$
• raakt de $x$-as als $D=0$
• heeft geen punt met de $x$-as gemeen ls $D\lt0$

Je kunt berekenen voor welke $p$ de grafiek van $f(x)=2x^2+10x+p$ de $x$-as raakt.

Gegeven: $f(x)=2x^2+10x+p$
$D=10^2-4·2·p=100-8p$
De grafiek raakt de $x$-as als $D=0$
$100-8p=0$
$8p=100$
$p=12\frac{1}{2}$

Kwadratische vergelijkingen met een parameter

De vergelijking $x^2+px+2p=0$ heeft geen oplossingen als $D\lt0$

$D=p^2-4·1·2p=p^2-8p$.
Los op: $p^2-8p\lt0$

$p^2-8p=0$
$p(p-8)=0$
$p=0$ of $p=8$

$f(p)=p^2-8p$ is een dalparabool

$D\lt0$ geeft $0\lt p\lt8$

De vergelijking $x^2+px+2p=0$ heeft geen oplossingen als je voor $p$ een getal kiest tussen 0 en 8.