Basisregels voor het werken met verzamelingen

• $
  A \subseteq B
  $ betekent $
  \left( {\forall x} \right)\left( {x \in A \Rightarrow x \in B} \right)
  $
• $
  A = B \Leftrightarrow \left( {A \subseteq B \wedge B \subseteq A} \right)
  $
• De basiseigenschap voor $
  \emptyset
  $ is $
  \left( {\forall x} \right)\left( {x \notin \emptyset } \right)
  $

De vijf basisregels en een speciale verzameling

(P1) Paarvorming: Als $x$ en $y$ objecten zijn dan bestaat een verzameling $X$ zodat voor elke $z$ geldt:

$
z \in X \Leftrightarrow \left( {z = x \vee z = y} \right)
$

De verzameling $X$ is, wegens het extensionaliteitsaximo, uniek. We noteren deze als $ \lt x,y \gt $ en we noemen dit een ongeordend paar.

Hiermee definieren we het geordende paar $$ als volgt:

$
 < x,y >  = \{ \{ x\} ,\{ x,y\} \}
$

We noemen $x$ de eerste coördinaat van $$ en $y$ de tweede coördinaat.

(P2) Vereniging: Als $A$ en $B$ verzamelingen zijn dan bestaat een verzameling $C$ zo dat voor elke $z$ geldt:

$
z \in C \Leftrightarrow (z \in A \vee z \in B)
$

We schrijven $C = A \cup B$ en noemen dit de  vereniging van $A$ en $B$.

(P3) Product: Als $A$ en $B$ verzamelingen zijn dan bestaat een verzameling $D$ zo dat voor elke $z$ geldt:

$
z \in D \Leftrightarrow (\exists x \in A)(\exists y \in B)(z =  < x,y > )
$

We noteren dit als $A \times B$ en noemen dit het cartesisch product van $A$ en $B$.

(P4) Machtsverzameling: Als $A$ een verzameling is dan bestaat een verzameling $E$ zo dat voor elke $z$ geldt:

$
z \in E \Leftrightarrow z \subseteq A
$

We noteren als $\mathcal{P}(A)$ en noemen deze de machtsverzameling van $A$.

(P5) Afscheiding: Als $A$ een verzameling is ern $V$ eem eigenschap (een eerste-orde formule met een vrije variabele) dan bestaat een verzameling $F$ zodat voor elke $z$ geldt:

$
z \in F \Leftrightarrow \left( {z \in A \wedge V\left( z \right)} \right)
$

We noemen dat de verzemeling $F$ verkregen wordt door alle elementen van $A$ met eigenschap $V$ af te scheiden:

$
F = \left\{ {x \in A:V\left( x \right)} \right\}
$