Hieronder zie je een rechthoek die zelf ook weer verdeeld is in rechthoeken. Je kunt de totale oppervlakte van die rechthoek op verschillende manieren berekenen.

De oppervlakte van A bestaat uit een stuk van 6 en een stuk van 14, dat is samen 20. De oppervlakte is 20.

Je kunt ook eerst de lengte berekenen en dan de oppervlakte. De lengte is 3+7=10, dus de oppervlakte is 2×10=20.

Als je dat laatste in één keer wilt opschrijven dan moet je haakjes schrijven. Als je 2×3+7 zou schrijven, dan vergeet je waarschijnlijk dat die '7' ook keer '2' moet. Dus schrijven we beter 2×(3+7). Meestal laten we die '×' weg.

• De oppervlakte van figuur A is gelijk aan 2(3+7)=2·10=20

Nog meer haakjes

De oppervlakte van B bestaat zelfs uit 4 stukken: een stuk van 6, van 14, van 15 en een stuk van 35. Dat is samen gelijk aan 6+14+15+35=70.

Je kunt ook eerste de lengte en de breedte van de rechthoek berekenen en dan de oppervlakte. De lengte is 3+7=10 en de breedte is 2+5=7, dus de oppervlakte is 10·7=70.

Als je dat in één keer wilt opschrijven dan zou je 3+7 moeten vermenigvuldigen met 2+5. Je kunt dan niet schrijven 3+7·2+5 want dan gaat het vast niet goed. Je moet haakjes gebruiken.

• De oppervlakte van figuur B is gelijk aan (3+7)(2+5)=10·7=70

Variabelen

Wat je met getallen kunt, kan je ook met variabelen. Stel je voor dat je een rechthoek hebt van 2 bij x+7. De oppervlakte van de driehoek kan je dan schrijven als 2(x+7).

Als je naar de kleinere rechthoeken kijkt kan je ook zeggen dat de oppervlakte gelijk is aan 2x+14.

• 2(x+7)=2x+14

Dubbele haakjes

• (x+7)(x+5)=x²+7x+5x+35=x²+12x+35

Nog meer variabelen

• a(b+c)=ab+ac

• (a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd

Theorie

In de wiskunde noemen we 'dingen' die je optelt termen. Het resultaat van een optelling noemen we som. Iets als 'p+1' noemen we een tweeterm omdat het uit twee termen bestaat.

'DIngen' die je vermenigvuldigt noemen we factoren. Een uitdrukking kan uit meerdere factoren bestaan. Zo bestaat p(p+2) uit de factoren 'p' en 'p+2'. De uitkomst van een vermenigvuldiging noemen het product.

De uitdrukking (p+1)(p+8) bestaat dus uit de factoren 'p+1' en 'p+8'. Die 'p+1' en 'p+8' zijn tweetermen. Dus je kunt zelfs zeggen dat (p+1)(p+8) het product is van twee tweetermen.

De som van termen en het product van factoren

In plaats van p²+8p+p+8 schrijf je p²+9p+8. Die '8p' en 'p' zijn #gelijksoortigetermen. Dat betekent dat ze dezelfde variabelen hebben en gelijke exponenten. Het product van twee tweetermen kan een drieterm zijn.

Maar dat is niet altijd zo:

• Het product van a+b en c+d is een vierterm.
  (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd
• Het product van (a-3)(a+3) is een tweeterm.
  (a - 3)(a + 3) = a² + 3a - 3a - 9 = a² - 9
• Het kwadraat van een tweeterm is een drieterm.
  (x + 3)² = (x + 3)(x + 3) = x² + 6x + 9

Opdracht 3

Herleid onderstaande formules. Dat wil zeggen: schrijf de formules zonder haakjes en zo kort mogelijk.

$
\eqalign{
  & a.\,\,\,8(h + 8) - 17 =   \cr
  & b.\,\,\, - \frac{1}
{4}\left( {12q + 28} \right) + 7 =   \cr
  & c.\,\,\,4k - 6\left( {\frac{1}
{2}k - 3} \right) =   \cr
  & d.\,\,\,6(a + 2b) + 2a =   \cr
  & e.\,\,\,a\left( {2a + c} \right) + a(3b - 2c) =   \cr
  & f.\,\,\, - (3p - 5q) + (p + q)^2  =   \cr
  & g.\,\,\,\left( {x - y} \right)^2  + 4xy =   \cr
  & h.\,\,\,(a - 3)(a + 5) - a^2  - 3 =   \cr
  & i.\,\,\,\left( {3x + y} \right)^2  + \left( {3x - y} \right)^2  =  \cr}
$