Voor welke \alpha geldt: \sin\alpha=\frac{1}{2}\sqrt{2}?

Met de eenheidscirkel vind je (in ieder geval) twee antwoorden!

Dus \alpha=\frac{1}{4}\pi of \alpha=\frac{3}{4}\pi. Maar klopt dat wel?

Nee, dat klopt niet. Er zijn oneindig veel oplossingen. \alpha=2\frac{1}{4}\pi of \alpha=2\frac{3}{4}\pi of \alpha=4\frac{1}{4}\pi of \alpha=4\frac{3}{4}\pi, enz... maar ook \alpha=-1\frac{1}{4}\pi of \alpha=-1\frac{3}{4}\pi.

Wij noemen dat wel modulo 2\pi. Dat wil zeggen dat er bij een oplossing bij steeds stapjes 2\pi groter of kleiner ook oplossingen zijn.

Notatie

Om alle antwoorden te geven gebruiken we de notatie ...+k\cdot2\pi. Voor k kan je dan elk willekeurig geheel getal in vullen. Een oplossing zit er dan zo uit:

\sin{\alpha}=\frac{1}{2}\sqrt{2}
\alpha=\frac{1}{4}\pi+k\cdot2\pi of \alpha=\frac{3}{4}\pi+k\cdot2\pi

Je hebt (in dit geval) dus twee verschillende verzamelingen van een oneindig aantal antwoorden.

Voorbeeld 1

\sin 2\alpha  = \frac{1}{2}
2\alpha  = \frac{1}{6}\pi  + k \cdot 2\pi of 2\alpha  = \frac{5}{6}\pi  + k \cdot 2\pi
\alpha  = \frac{1}{{12}}\pi  + k \cdot \pi of \alpha  = \frac{5}{{12}}\pi  + k \cdot \pi

De hoeken zoek je op in de eenheidscirkel en dan modulo 2\pi. Daarna kan je de vergelijking verder oplossen. In dit geval deel je door 2. Kijk maar 's goed!

Voorbeeld 2

\sin \left( {\frac{1}{2}\alpha  - \frac{1}{2}\pi } \right) =  - \frac{1}{2}\sqrt 3
\frac{1}{2}\alpha  - \frac{1}{2}\pi  = 1\frac{1}{3}\pi  + k \cdot 2\pi of \frac{1}{2}\alpha  - \frac{1}{2}\pi  = 1\frac{2}{3}\pi  + k \cdot 2\pi
\frac{1}{2}\alpha  = 1\frac{5}{6}\pi  + k \cdot 2\pi of \frac{1}{2}\alpha  = 2\frac{1}{6}\pi  + k \cdot 2\pi
\alpha  = 3\frac{2}{3}\pi  + k \cdot 4\pi of \alpha  = 4\frac{1}{3}\pi  + k \cdot 4\pi

De hoeken zoek je op in de eenheidscirkel en dan modulo 2\pi. Daarna kan je de vergelijking verder oplossen. In dit geval links en rechts \frac{1}{2}\pi optellen en vermengvuldigen met 2. Kijk maar weer 's goed!