8. De konijnen van Fibonacci

Leonardo van Pisa, beter bekend als Fibonacci (ca. 1170 - 1250) was een Italiaanse wiskundige. Fibonacci is geboren in Italië. Hij publiceerde in 1202 Liber Abaci over algebra en de Arabische cijfers inclusief het cijfer nul.
bron

In Liber Abaci stelt Fibonacci een eenvoudige vraag:

"Als een konijnenpaar elke maand een jong konijnenpaar voortbrengt, dat na twee maanden zelf ook weer een nieuw konijnenpaar voortbrengt, hoeveel konijnenparen heb je dan na verloop van tijd, verondersteld dat ze allen in leven blijven?"

De oplossing is verrassend:

Je krijgt de rij: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, ...

De eerste twee termen zijn beide 1. Daarna is elke term de som van de twee voorafgaande termen.

Is dat bijzonder? Qua biologie is het een beetje onzinverhaal, maar voor de wiskunde is het een interessante rij getallen.

Voorbeeld 1

Ik wil een (2 rij breed) stenen pad aanleggen. Daarvoor heb ik de beschikking over stenen met afmeting 1 bij 2. Hoeveel verschillende paden van lengte n kan ik leggen met deze stenen?

Je kunt met 1 tegel 1 pad aanleggen, met 2 tegels 2 verschillende paden, met 3 tegels kan je 3 verschillende paden aanleggen, met 4 tegels 5 verschillende paden, met 5 tegels zijn dat 8, enz.

Je ziet dat hetzelfde rijtje verschijnen: 1, 2, 3, 5, 8, 13..

Voorbeeld 2

Sommige mensen herkennen in het toetsenbord van een piano ook de getallen uit de rij van Fibonacci:

Een octaaf bestaat uit 13 toetsen, 8 witte en 5 zwarte toetsen, verdeeld in 2 en 3. Zou kunnen...

Voorbeeld 3

Het meest opmerkelijk is dat de rij van Fibonacci terug te vinden bij planten: kroonbladeren, bladstanden, dennenapples, groente, fruit,...

Dat is dan voor biologen wel weer interessant.

Opdracht 1

De functie Fib(n) geeft bij elke waarde van n het n-de getal van de rij van Fibonacci. Er geldt dat Fib(1)=1, Fib(2)=1 en F(n)=F(n-1)+F(n-2) voor n>2.

Beantwoord de volgende vragen:

Gegeven is Fib(10)=55 en Fib(11)=89 Wat is dan Fib(12)?

Gegeven is Fib(19)=4181 en Fib(20)=6765.
Wat is dan Fib(18)?

Bereken Fib(7) en Fib(23).

Zet je antwoorden in het tekstvlak hieronder.

Opdracht 2

Je ziet hier een plaatje van een bij aan de rand van haar honingraat.

Ze kan steeds een cel naar rechts verplaatsen (met een hoger nummer). Ze start met cel 1.

Er is één pad naar cel 1. Er is één pad naar cel 2, want dat kan alleen via cel 1. Voor cel 3 kan ze dan via 1, 2 naar 3 of via 1 en dan naar 3, dat kan dan op 2 manieren..

Hoeveel paden zijn er voor cel 7? Als je het honingraat rechts door zou tekenen hoeveel paden zijn er dan voor de cel met nummer 23?

Zet je antwoorden in het tekstvlak onderaan deze pagina.

Opdracht 3

Hieronder zie je twee driehoeken. Ze zijn met dezelfde stukjes gelegd. Toch klopt er ergens iets niet. Waar is het missende stukje gebleven?

Probeer voor jezelf uit te zoeken wat er niet aan klopt en hoe dit precies in elkaar steekt. Het heeft (uiteraard) met de rij van Fibonacci te maken. Zoek het uit.

Leg in het tekstvlak hieronder uit hoe dat precies zit.
...en niet stiekem opzoeken op Internet...