6. afstanden en vectoren
De afstand van een punt tot een vlak
De afstand van het punt $
P\left( {x_P ,y_P ,z_P } \right)
$ tot het vlak $
V:ax + by + cz = d
$ is:
$
d(P,V) =
$ $
\Large\frac{{\left| {ax_P + by_P + cz_P - d} \right|}}{{\sqrt {a^2 + b^2 + c^2 } }}
$
Voorbeeld 1
Gegeven is de kubus $ABCD.EFGH$ met ribbe 4. Het punt $M$ is het midden van $CG$.
- Bereken $d(F,BMH)$
Zie uitwerking
De afstand van een punt tot een lijn
Het berekenen van de afstand van een punt $P$ tot een lijn $l$ met behulp van vectoren:
- Breng door $P$ het vlak $V$ aan dat loodrecht op $l$ staat.
- Bereken de coördinaten van het snijpunt $A$ van $V$ en $l$.
- Bereken $d(P,l)=PA$
Voorbeeld 2
Van driehoek $ABC$ is $A(-3,0,3)$, $B(3,1,-1)$ en $C(0,1,1)$.
- Bereken $d(A,BC)$
Zie uitwerkingen opgave 67 op blz. 54
De afstand tussen twee kruisende lijnen
Het berekenen van de afstand tussen de kruisende lijnen $l$ en $m$:
-
Stel een vergelijking op van het vlak $V$ door $m$ dat evenwijdig is met $l$. Gebruik $
\underline n _V = \underline r _l \times \underline r _m
$ en een punt op $m$ - Neem een punt $P$ op $l$ en bereken $d(P,V)$ met de afstandsformule. Er geldt $d(l,m)=d(P,V)$
Voorbeeld 3
Gegeven:
$
\begin{array}{l}
l:\left( {\begin{array}{*{20}c}
x\\
y\\
z \\
\end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}c}
{-1}\\
{-2}\\
0 \\
\end{array}} \right) + \lambda \left( {\begin{array}{*{20}c}
2\\
2\\
1\\
\end{array}} \right) \\
m:\left( {\begin{array}{*{20}c}
x\\
y\\
z\\
\end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}c}
4\\
2\\
3\\
\end{array}} \right) + \mu \left( {\begin{array}{*{20}c}
2\\
0\\
{-1}\\
\end{array}} \right) \\
\end{array}
$
- Bereken $d(l,m)$
Uitwerking voorbeeld 3
$
\underline n _V = \underline r _l \times \underline r _m = \left( {\begin{array}{*{20}c}
2\\
2\\
1\\
\end{array}} \right) \times \left( {\begin{array}{*{20}c}
2\\
0\\
{-1}\\
\end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}c}
{-2}\\
4\\
{-4}\\
\end{array}} \right) \buildrel \wedge \over = \left( {\begin{array}{*{20}c}
{-1}\\
2\\
{-2}\\
\end{array}} \right)
$
$
V: - x + 2y - 2z\mathop { = - 6}\limits^{\scriptstyle (4,2,3) \atop
\scriptstyle \downarrow }
$
Neem $
P( - 1, - 2,0)
$
$
d(l,m) = d(P,V) = \frac{{\left| {1 - 4 + 0 + 6} \right|}}{{\sqrt {( - 1)^2 + 2^2 + ( - 2)^2 } }} = 1
$