3. de abc-formule
Kwadratische vergelijkingen oplossen
Voor het oplossen van kwadratische vergelijkingen heb je twee manieren geleerd:
- Met ontbinden in factoren
- Met kwadraatafsplitsen
Oplossen met de abc-formule
Met de abc-formule kan je elke tweedegraadsvergelijing oplossen. Soms (maar niet altijd) kan dat handig zijn.
Aanpak
Een tweedegraadsvergelijking oplossen met abc-formule gaat zo:
- Schrijf de vergelijking in de vorm $ax^2+bx+c=0$
- Vermeld $a$, $b$ en $c$
- Bereken de discriminant $D=b^2-4ac$
- De oplossingen zijn $\eqalign{x=\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}}$ en $\eqalign{x=\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}}$
Het aantal oplossingen van een kwadratische vergelijking
Als je de abc-formule toepast dan komt $\sqrt{D}$ niet altijd mooi uit. Voor een exact antwoord laat je de wortel staan. Soms wordt er een benadering gevraagd. Dat doe je dan op 't laatst met de rekenmachine.
Als D=0
Als $D=0$ dan heb je niet 2 oplossingen maar slechts 1 oplossing.
Als D<0
Als $D\lt0$ dan heb je geen oplossing.
De ligging van een parabool ten opzichte van de x-as
Om de coördinaten van de snijpunten van de parabool $y=ax^2+bx+c$ met de $x$-as te berekenen los je de vergelijking $ax^2+bx+c=0$ op.
Het aantal oplossingen kan twee, één of nul zijn. Dat aantal hangt af van de discriminant:
- $D\lt0$: geen oplossingen
- $D=0$: één oplossing
- $D\gt0$: twee oplossingen
$
D < 0
$
geen oplossing
geen snijpunten met de x-as
$
D = 0
$
één oplossing
één snijpunt met de x-as
$
D > 0
$
twee oplossingen
twee snijpunten met de x-as
Functies met een parameter (B)
In $f(x)=x^2+4x+p$ heet $p$ een parameter. Een parameter is een hulpvariabele. Je hebt dan te maken met een 'familie van functies'. Voor elke waarde van $p$ een andere functie.
Voorbeeld
Gegeven $f(x)=2x^2-6x+p$. Voor welke waarde van $p$ raakt de grafiek van $f$ de $x$-as?
-
Bereken de snijpunten van $f$ met de $x$-as. Als $f$ raakt aan de $x$-as dan zou dat precies één snijpunt moeten opleveren,
$2x^2-6x+p=0$
$a=2$, $b=-6$ en $c=p$
$D=(-6)^2-4·2·p=36-8p$
Er geldt dat $D=0$
$36-8p=0$
$8p=36$
$p=4\frac{1}{2}$