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M. Bewijs

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Opgave

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Toon aan:

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\left( {\begin{array}{*{20}c}
   {n + 2}  \\
   k  \\
\end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}c}
   n  \\
   k  \\
\end{array}} \right) + 2 \cdot \left( {\begin{array}{*{20}c}
   n  \\
   {k - 1}  \\
\end{array}} \right) + \left( {\begin{array}{*{20}c}
   n  \\
   {k - 2}  \\
\end{array}} \right)
$

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Uitwerkingen

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$
\left( {\begin{array}{*{20}c}
   n  \\
   k  \\
\end{array}} \right) + 2 \cdot \left( {\begin{array}{*{20}c}
   n  \\
   {k - 1}  \\
\end{array}} \right) + \left( {\begin{array}{*{20}c}
   n  \\
   {k - 2}  \\
\end{array}} \right) =
$
$
\eqalign{\frac{{n!}}{{k!\left( {n - k} \right)!}} + 2\frac{{n!}}{{\left( {k - 1} \right)!\left( {n - k + 1} \right)!}} + \frac{{n!}}{{(k - 2)!\left( {n - k + 2} \right)!}} =}
$
$\eqalign{
(n - k + 1)(n - k + 2)\frac{{n!}}{{k!\left( {n - k + 2} \right)!}} +...
}$
$\eqalign{
\,\,\,\,\,\,... + 2k\left( {n - k + 2} \right)\frac{{n!}}{{k!\left( {n - k + 2} \right)!}} + ...
}$
$\eqalign{
\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,... + k(k - 1)\frac{{n!}}{{k!\left( {n - k + 2} \right)!}} =
}$
$\eqalign{
\frac{{n!}}{{k!\,\left( {n - k + 2} \right)!}}\left( {(n - k + 1)(n - k + 2) + 2k\left( {n - k + 2} \right) + k(k - 1)} \right) =
}$
$\eqalign{
\frac{{n!}}{{k!\,\left( {n - k + 2} \right)!}}\left( {(n + 1)(n + 2)} \right) =
}$
$\eqalign{
\frac{{n! \cdot (n + 1)(n + 2)}}{{k!\left( {n - k + 2} \right)!}} =
}$
$\eqalign{
\frac{{(n + 2)!}}{{k!\left( {n - k + 2} \right)!}} =
}$
$\eqalign{
\left( {\begin{array}{*{20}c}
   {n + 2}  \\
   k  \\
\end{array}} \right)
}$

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Toelichting

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Je wilt aantonen dat:

$
\left( {\begin{array}{*{20}c}
   {n + 2}  \\
   k  \\
\end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}c}
   n  \\
   k  \\
\end{array}} \right) + 2 \cdot \left( {\begin{array}{*{20}c}
   n  \\
   {k - 1}  \\
\end{array}} \right) + \left( {\begin{array}{*{20}c}
   n  \\
   {k - 2}  \\
\end{array}} \right)
$

Als je die termen uitschrijft krijg je:

$
\eqalign{\frac{{(n + 2)!}}{{k!\left( {n - k + 2} \right)!}} = \frac{{n!}}{{k!\left( {n - k} \right)!}} + 2\frac{{n!}}{{\left( {k - 1} \right)!\left( {n - k + 1} \right)!}} + \frac{{n!}}{{(k - 2)!\left( {n - k + 2} \right)!}}}
$

De kunst is nu om alle termen aan de rechter kant te schrijven als:

$
\eqalign{\frac{{...}}{{k!\left( {n - k + 2} \right)!}}}
$

Het is (als het ware) gelijknamig maken! Daarna kan je de termen rechts optellen en kijken wat er bij de teller moet staan...

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Begrip en inzicht

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Je zou ook in de driehoek van Pascal kunnen kijken:

$
\begin{array}{l}
 \left( {\begin{array}{*{20}c}
   n  \\
   k  \\
\end{array}} \right) + 2 \cdot \left( {\begin{array}{*{20}c}
   n  \\
   {k - 1}  \\
\end{array}} \right) + \left( {\begin{array}{*{20}c}
   n  \\
   {k - 2}  \\
\end{array}} \right) =  \\  
 \left( {\begin{array}{*{20}c}
   n  \\
   {k - 2}  \\
\end{array}} \right) + \left( {\begin{array}{*{20}c}
   n  \\
   {k - 1}  \\
\end{array}} \right) + \left( {\begin{array}{*{20}c}
   n  \\
   {k - 1}  \\
\end{array}} \right) + \left( {\begin{array}{*{20}c}
   n  \\
   k  \\
\end{array}} \right) =  \\  
 \left( {\begin{array}{*{20}c}
   {n + 1}  \\
   {k - 1}  \\
\end{array}} \right) + \left( {\begin{array}{*{20}c}
   {n + 1}  \\
   k  \\
\end{array}} \right) =  \\  
 \left( {\begin{array}{*{20}c}
   {n + 2}  \\
   k  \\
\end{array}} \right) \\  
 \end{array}
$
...dan is het minder ingewikkeld dan je denkt.  Gebruik daarbij de eigenschap:

$
\left( {\begin{array}{*{20}c}
   n  \\
   k  \\
\end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}c}
   {n - 1}  \\
   {k - 1}  \\
\end{array}} \right) + \left( {\begin{array}{*{20}c}
   {n - 1}  \\
   k  \\
\end{array}} \right)
$

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• Bewijs met formulemanipulatie of combinatorisch bewijs