|
Onderlinge ligging van lijnen
Gegeven de lijnen $k:ax+by=c$ en $l:px+qy=r$ en het stelsel:
$\left\{ \begin{array}{l}
ax + by = c\\
px + qy = r
\end{array} \right.$
Dan zijn er drie mogelijkheden:
-
Als $\eqalign{\frac{a}{p} \ne \frac{b}{q}}$ dan hebben de lijnen een snijpunt en het stelsel heeft één oplossing.
-
Als $\eqalign{\frac{a}{p} = \frac{b}{q} \ne \frac{c}{r}}$ dan zijn de lijnen evenwijdig en heeft het stelsel geen oplossing.
-
Als $\eqalign{\frac{a}{p} = \frac{b}{q} = \frac{c}{r}}$ dan vallen de lijnen samen en heeft het stelsel oneindig veel oplossingen.
Voorbeeld
Gegeven zijn de lijnen $k:2x-y=4$ en $l:x-3y=-3$. Het snijpunt van de lijnen is A. Het punt B(5,6) ligt op $k$.
-
Bereken de hoek tussen $k$ en $l$
-
Bereken exact $d(A,B)$
-
Bereken exact $d(B,l)$
|
Lijnen, hoeken en afstanden
De hoek tussen twee lijnen waarvan de vergelijkingen zijn gegeven bereken je met behulp van richtingshoeken.
De richtingshoek van een lijn is de hoek die de lijn maakt met het positieve deel van de $x$-as.
Voor de richtingshoek $\alpha$ van de lijn $k$ geldt:
-
$\tan\alpha=rc_k$
-
$-90^\circ\lt\alpha\le90^\circ$
Voor de hoek $\varphi$ tussen twee lijnen met richtingshoeken $\alpha$ en $\beta$, waarbij $\alpha\gt\beta$, geldt:
-
$\varphi=\alpha-\beta$ als $\alpha-\beta\le90^\circ$
-
$\varphi=180^\circ-(\alpha-\beta)$ als $\alpha-\beta\gt90^\circ$
Als voor de lijnen $k$ en $l$ geldt $rc_k\cdot rc_l=-1$ dan staan de lijnen loodrecht op elkaar.
Werkschema voor het berekenen van de afstand van een punt A tot de lijn k:
-
Stel een vergelijking op van de lijn $l$ door $A$ die loodrecht staat op $k$.
-
Bereken de coördinaten van het snijpunt $B$ van $k$ en $l$.
-
Gebruik $d(A,k)=d(A,B)$
Gebruik daarbij:
$d(A,B) = \sqrt {{{\left( {{x_B} - {x_A}} \right)}^2} + {{\left( {{y_B} - {y_A}} \right)}^2}} $
|
