|
Cirkelvergelijkingen
De vergelijking voor de cirkel $c$ met middelpunt $M$ en straal $r$ is gelijk aan:
${\left( {x - {x_M}} \right)^2} + {\left( {y - {y_M}} \right)^2} = {r^2}$
Voorbeeld 1
Onderzoek met een berekening of het punt $A(1,-1)$ op, binnen of buiten de cirkel $c:x^2+y^2-8x-4y+3=0$ ligt.
Uitwerking
Je kunt met kwadraatafsplitsen de vergelijking van $c$ schrijven in de standaardvorm :
$\eqalign{
& {x^2} + {y^2} - 8x - 4y + 3 = 0 \cr
& {x^2} - 8x + {y^2} - 4y + 3 = 0 \cr
& {(x - 4)^2} - 16 + {\left( {y - 2} \right)^2} - 4 + 3 = 0 \cr
& {(x - 4)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = 17 \cr} $
Het middelpunt is $M(4,2)$ en $r=\sqrt{17}$.
$d(A,M)=\sqrt{18}$ en dat is groter dan $r$ dus $A$ ligt buiten $c$.
|
Cirkels en raaklijnen
-
Een raaklijn aan een cirkel staat loodrecht op de straal naar het raakpunt
-
De afstand van het raakpunt tot het middelpunt van de cirkel is gelijk aan de straal
Er zijn 3 raaklijnproblemen:
-
Stel een vergelijking op van de cirkel $c$ als het middelpunt van de cirkel gegeven is en een lijn waaraan $c$ raakt.
-
Stel een vergelijking op van de lijn $l$ als de cirkel gegeven is en een punt op de cirkel waar $l$ de cirkel raakt.
-
Stel een vergelijking op van de lijn $k$ als de cirkel waaraan $k$ raakt gegeven is en de richting van $k$.
Voorbeeld 2
-
Stel een vergelijking op van de cirkel $c_1$ met middelpunt $M(3,-2)$ die de lijn $k:x+3y=7$ raakt.
-
Stel een vergelijking op van de lijn $l$ die de cirkel $c_2:(x+2)^2+(y+1)^2=17$ raakt in het punt $B(2,0)$.
-
Gegeven is de cirkel $c_3:x^2+y^2-2x-4y=0$. Bereken voor welke waarden van $b$ de lijn $y=2x+b$ de cirkel raakt.
Zie uitwerking voorbeeld 2
|
|
Werkschema
Het opstellen van een vergelijking van een raaklijn $k$ aan een cirkel $c$ met middelpunt $M$ in een gegeven punt $A$ op $c$.
-
Bereken de richtingscoëfficiënt $rc_l$ van de lijn $l$ door $M$ en $A$.
-
Gebruik $k\bot l$, dus $rc_k\cdot rc_l=-1$ om de richtingscoëfficiënt $rc_k$ van $k$ te berekenen.
-
Gebruik $rc_k$ en de coördinaten van $A$ om een vergelijking van $k$ op te stellen.
Zie b. van voorbeeld 2
|
Cirkels en afstanden
Bij een cirkel $c$ met middelpunt $M$ en straal $r$ geldt:
-
Voor $A$ binnen $c$: $d(A,c)=r-d(M,A)$
-
Voor $B$ buiten $c$: $d(B,c)=d(M,B)-r$
Voor de afstand van 2 cirkels $c_1$ en $c_2$ met middelpunten $M$ en $N$ geldt:
$d(c_1,c_2)=d(M,N)-r_1-r_2$
Voorbeeld 3
Gegeven is de cirkel $c:x^2+y^2-8x-4y+10=0$ en de lijn $k:x+3y=-10$.
Zie uitwerking voorbeeld 3
|
