5. de parabool
De parabool als conflictlijn
Een parabool is de verzameling van alle punten met gelijke afstanden tot een punt en een lijn.
De parabool met brandpunt $F(\frac{1}{2}p,0)$ en richtlijn $l:x=\frac{1}{2}p$ heeft vergelijking $y^2=2px$
Top, brandpunt, richtlijn en as van parabool
Van de parabool $y^2=6x$ is de top (0,0), het brandpunt $(1\frac{1}{2},0)$, de richtlijn $x=-1\frac{1}{2}$ en de symmetrieas $y=0$.
De parabool $y^2+8y=6x+2$ ontstaat via een translatie uit de parabool van $y^2=6x$.
$y^2+8y=6x+2$
$(y+4)^2-16=6x+2$
$(y+4)^2=6x+18$
$(y+4)^2=6(x+3)$
De translatie is $(-3,-4)$
De top is $(-3,-4)$, het brandpunt $(-1\frac{1}{2},-4)$, de richtlijn $x=-4\frac{1}{2}$ en de symmetrias $y=-4$.
Parabool en raaklijnen
De lijn $k$ die de parabool $y^2=2px$ raakt in $A(x_A,y_A)$ heeft vergelijking:
$k:y_Ay=px+px_A$
We noemen dat 'halfsubstitutie'. De lijn door een punt van een parabool die loodrecht staat op de raaklijn in dat punt heet de normaal van de parabool in dat punt.
De poollijn van een punt ten opzichte van een parabool
Raken de lijnen $k$ en $l$ door het punt $P(x_P,y_P)$ de parabool $y^2=2px$ in de punten $A$ en $B$, dan is:
- de lijn $AB$ de poollijn van $P$ ten opzichte van de parabool
- het punt $P$ de pool van de lijn $AB$ ten opzichte van de de parabool
- $AB:y_Py=px+px_P$