Machten met negatieve exponenten
Hieronder zie je nog een keer de rekenregels voor machten:
Negatieve exponenten
De laatste rekenregel verdient nog enige aandacht. Volgens deze regel zou 25 gedeeld door 25 gelijk moeten zijn aan 20. Maar er zou eigenlijk 1 uit moeten komen. Kennelijk is 20=1. Op dezelfde manier kan je aantonen:
$
a^0=1\,\,met\,\,a\ne0
$
Volgens dezelfde regel:
$
\frac{{2^3}}
{{2^5}}=2^{3-5}=2^{- 2}
$
Kennelijk kunnen exponenten negatief zijn!?
$
\frac{{2^3 }}
{{2^5}}=\frac{{2\cdot2\cdot 2}}
{{2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2}}=\frac{1}
{{2^2}}
$
Dus kennelijk is $
2^{-2}=\large \frac{1}
{{2^2}}
$. Meer in 't algemeen geldt:
$
\Large a^{-p}=\frac{1}
{{a^p}}
$
Formules met machten herleiden
De formule $\eqalign{y=3(2x^2)^5·\frac{4}{x^{12}}}$ kun je schrijven in de vorm $y=ax^n$. Je gebruikt daarnbij de rekenregels voor machten.
$
\eqalign{
& y = 3\left( {2x^2 } \right)^5 \cdot \frac{4}
{{x^{12} }} \cr
& y = 3 \cdot 2^5 \cdot \left( {x^2 } \right)^5 \cdot 4 \cdot x^{ - 12} \cr
& y = 3 \cdot 32 \cdot x^{10} \cdot 4 \cdot x^{ - 12} \cr
& y = 384x^{ - 2} \cr}
$
Voorbeeld
Schrijf $
y = 40 \cdot 3^{ - 2x + 1}
$ in de vorm $y=b·g^x$
Uitwerking
$
\eqalign{
& y = 40 \cdot 3^{ - 2x + 1} \cr
& y = 40 \cdot 3^{ - 2x} \cdot 3^1 \cr
& y = 40 \cdot \left( {3^{ - 2} } \right)^x \cdot 3 \cr
& y = 120 \cdot \left( {\frac{1}
{{3^2 }}} \right)^x \cr
& y = 120 \cdot \left( {\frac{1}
{9}} \right)^x \cr}
$
Formules met hogeremachtswortels
Sommige hogeremachtswortels komen mooi uit.
Zo is $
\root 3 \of {125} = 5
$, want $5^3=125$.
Merk op dat $
\root 3 \of { - 125} = - 5
$. Immers $(-5)^3=-125$
Maar $\sqrt{-9}$ bestaat niet, want er is geen getal dat in het kwadraat $-9$ oplevert. Om dezelfde reden bestaat $
\root 4 \of { - 16}
$ niet. Een getal tot de vierde macht is niet negatief.
In 't algemeen
Bestaat $
\root n \of a
$ ?
Als $a\ge0$ dan ja. Voor $a\lt0$ alleen als $n$ is oneven.
Rekenregel
$
\eqalign{\root n \of {A \cdot B} = \root n \of A \cdot \root n \of B}
$
Machten met gebroken exponenten
De rekenregels voor machten gelden ook als p en q breuken zijn. Dus je kunt bijvoorbeeld schrijven:
$
2^{\frac{1}
{2}} \cdot 2^{\frac{1}
{2}} = 2^1 = 2
$
Maar dat is hetzelfde als:
$
\sqrt 2 \cdot \sqrt 2 = 2
$
Meer in het algemeen geldt:
$
a^{\frac{1}
{q}} = \root q \of a \,\,\,en\,\,\,a^{\frac{p}
{q}} = \root q \of {a^p } \,\,\,met\,\,a > 0
$
Door gebruik te maken van deze regel kan je soms handig rekenen, herleiden en vereenvoudigen.