Kansen en combinaties
Bij een kansexperiment met uitkomsten die alle even waarschijnlijk zijn is de kans op een gebeurtenis $G$ gelijk aan:
$\eqalign{P(G)=\frac{N(gunstige\,uitkomsten)}{N(mogelijke\,uitkomsten)}}$
Bij veel kansberekeningen kan het handig zijn om het kansexperiment om te zetten in het pakken van knikkers uit een vaas. Je maakt dan een vaasmodel bij het probleem.
De somregel
Voor elkaar uitsluitende gebeurtenissen $A$ en $B$ geldt:
De complementregel
Voor een gebeurtenis $A$ geldt:
Mickey Mouse formule
In een vaas bevinden zich $a$ witte en $b$ niet-witte knikkers. Je pakt er $n$ knikkers uit. De kans op $k$ witte knikkers is dan
$
P(X = k) = \frac{{\left( {\begin{array}{*{20}c}
a \\
k \\
\end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}c}
b \\
{n - k} \\
\end{array}} \right)}}{{\left( {\begin{array}{*{20}c}
{a + b} \\
n \\
\end{array}} \right)}}
$
Voorbeeld 1
In een vaas zitten negen rode, acht witte en zeven blauwe knikkers. Je pakt (geheel willekeurig en zonder terugleggen) zes knikkers uit de vaas,
Uitwerking
$ \begin{gathered} P(4{\text{ }}rode{\text{ }}en{\text{ }}2{\text{ }}witte) = \frac{{N(gunstige{\text{ }}uitkomsten)}} {{N\left( {mogelijke{\text{ }}uitkomsten} \right)}} \\ P(4{\text{ }}rode{\text{ }}en{\text{ }}2{\text{ }}witte) = \frac{{\left( {\begin{array}{*{20}c} 9 \\ 4 \\ \end{array} } \right) \cdot \left( {\begin{array}{*{20}c} 8 \\ 2 \\ \end{array} } \right)}} {{\left( {\begin{array}{*{20}c} {24} \\ 6 \\ \end{array} } \right)}} \approx 0,026 \\ \end{gathered} $
Voorbeeld 2
In een klas zitten 16 jongens en 13 meisjes. Een docent kiest willekeurig vijf leerlingen uit de klas.
Uitwerking
$\begin{array}{l}
X:{\rm{aantal\,jongens}} \\
P(X \ge 2) = 1 - P(X = 0 \vee X = 1) \\
P(X \ge 2) = 1 - P(X = 0) - P(X = 1) \\
P(X \ge 2) = 1 - \frac{{\left( {\begin{array}{*{20}c}
{13} \\
5 \\
\end{array}} \right)}}{{\left( {\begin{array}{*{20}c}
{29} \\
5 \\
\end{array}} \right)}} - \frac{{\left( {\begin{array}{*{20}c}
{16} \\
1 \\
\end{array}} \right) \cdot \left( {\begin{array}{*{20}c}
{13} \\
4 \\
\end{array}} \right)}}{{\left( {\begin{array}{*{20}c}
{29} \\
5 \\
\end{array}} \right)}} \\
\end{array}$