Overzicht telproblemen
Stel jezelf bij telproblemen steeds twee vragen:
Combinaties vermenigvuldigen en optellen
In een klas zitten 12 jongens en 17 meisjes. Er wordt een commité gevormd van 5 leerlingen met 3 jongens en 2 meisjes.
Het aantal manieren is:
$
\left( {\begin{array}{*{20}c}
{12}\\
3\\
\end{array}} \right) \cdot \left( {\begin{array}{*{20}c}
{17}\\
2\\
\end{array}} \right)
$=29.920
In een klas zitten 12 jongens en 17 meisjes. Er wordt een commité gevormd met minstens 4 jongens.
Het aantal manieren is:
$
\left( {\begin{array}{*{20}c}
{12}\\
4\\
\end{array}} \right) \cdot \left( {\begin{array}{*{20}c}
{17}\\
1\\
\end{array}} \right) + \left( {\begin{array}{*{20}c}
{12}\\
5\\
\end{array}} \right)
$=9.207
Er zijn twee mogelijkheden: '4 jongens en 1 meisje' of '5 jongens'.
Permutaties vermenigvuldigen
Op hoeveel manieren kan je de 8 boeken rangschikken?
Dat kan op 8!=40.320 manieren.
Op hoeveel manieren kan je 5 wiskundeboeken en 3 scheikundeboeken rangschikken als de wiskundeboeken naast elkaar moeten staan?
Dat kan op 4!·5!=2880 manieren
Op hoeveel manieren kan je 5 wiskundeboeken en 3 scheikundeboeken rangschikken als de wiskundeboeken en de scheikundeboeken naast elkaar moeten staan?
Dat kan op 2!·5!·3!=1440 manieren.
Opgave A65 van bladzijde 40.
Rangschikkingen van n dingen waarvan enkele gelijk zijn
Hoeveel rangschikkingen kan je maken met de letters van het woord AARDAPPELPUREE?
Het zijn 14 letters dus je zou denken 14! rangschikkingen, maar dat klopt niet. Sommige letters komen meerdere keren voor. Als je 14! neemt dan tel je heel veel rangschikkingen die hetzelfde zijn nog een keer mee.
De oplossing is redelijk eenvoudig. In het woord staat 3 keer een A. Als je 14! berekent dan kan je bij de woorden die A's onderling verwisselen. Dat kan op 3! manieren.
Kortom: neem 14! en deel door 3! (A's), door 2! (R's), door 3! (P's) en door 3! (E's) en dan ben je er...
Aantal rangschikkingen is:
$
\Large\frac{{14!}}{{3! \cdot 2! \cdot 3! \cdot 3!}}
$=$201.801.600$
Rijtjes met meer dan twee letters
Hoeveel rijtjes kan je maken met 4 A's, 3 B's en 6 C's?
Het 'woord' bestaat uit 13 letters. Je moet 4 plaatsen kiezen uit 13 voor de A's. Er zijn dan nog 9 plaatsen over. Je moet 3 plaatsen uit 9 kiezen voor de B's en dan liggen de plaatsen voor de C's vast.
$
\# rijtjes = \left( {\begin{array}{*{20}c}
{13}\\
4\\
\end{array}} \right) \cdot \left( {\begin{array}{*{20}c}
9\\
3\\
\end{array}} \right) = {\rm{60}}{\rm{.060}}
$
Maar je kunt natuurlijk ook met de B's beginnen, of de C's en dan de A's of de B's of wat je maar wilt...
Maar wat ook kan is 13! delen door 4!, 3! en 6!, dat kan ook...
$\Large\frac{{13!}}{{4! \cdot 3! \cdot 6!}}$=$60.060$