` Wiskundeleraar
©2012 wiskundeleraar.nl

2. het herhalen van kansexperimenten

Een experiment twee of meer keer uitvoeren

Bij het vaker uitvoeren van hetzelfde kansexperiment bereken je kansen met de productregel voor anafhankelijke gebeurtenissen.

Voorbeeld 1

Timo wil zo vaak met twee dobbelstenen gooien zodat de kans op minstens één keer 'som van de ogen is 12' groter is dan $\frac{3}{4}$.

  • Bereken hoe vaak Timo minstens moet gooien.

Uitwerking

  • $P(X \ge 1) = 1 - \left( {\frac{{35}}{{36}}} \right)^n$

Bovendien moet gelden:

  • $P(X \ge 1) > \frac{3}{4}$

Dat geeft:

  • $1 - \left( {\frac{{35}}{{36}}} \right)^n > \frac{3}{4}$

Oplossen geeft: $
n \ge 50
$


De algemene productregel

Voor de gebeurtenissen $A$ en $B$ geldt:

$
P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B|A) = P(B) \cdot P(A|B)
$

Bij het pakken van knikkers uit een vaas gebruik je de algemene productregel voor het berekenen van kansen.

Voorbeeld 2

In een vaas zitten 8 witte, 4 blauwe en 2 rode ballen. We trekken steeds drie ballen uit de vaas zonder terugleggen.

  • Bereken de kans op 2 witte ballen.

Eén vraag drie uitwerkingen

1e manier
Aantal gunstige uitkomsten is 3·8·7·6=1008
Aantal mogelijke uitkomsten is 14·13·12=2184
$P({\rm{2}}\,\,{\rm{witte}})$=$\large\frac{1008}{2184}=\frac{6}{13}$

2e manier
$P(w,w,n)$ =
$\large\frac{8}{14}\cdot\frac{7}{13}\cdot\frac{6}{12}=\frac{2}{13}$
$
P({\rm{2}}\,\,{\rm{witte}}) = 3 \cdot \frac{8}{{14}} \cdot \frac{7}{{13}} \cdot \frac{6}{{12}} = \frac{6}{{13}}
$

3e manier
$P({\rm{2}}\,\,{\rm{witte}})=$ $\Large\frac{{8\choose2}\cdot{6\choose1}}{{14\choose3}}$ $=\frac{6}{13}$

Zie één vraag drie uitwerkingen


Experimenten herhalen totdat succes optreedt

Je pakt één voor één knikkers uit een vaas met 3 rode en 5 witte knikkers. Je gaat net zo lang door tot je een rode knikkers pakt.

  • Wat is de kans dat je 4 keer een knikker moet pakken?

q10740img1.gif

Uitgewerkt

De eerste knikkers is wit, de tweede knikker is wit, de derde knikker is wit maar de vierde knikker is rood.

$
P(X = 4) = \frac{5}{8} \times \frac{4}{7} \times \frac{3}{6} \times \frac{3}{5} = \frac{3}{{28}}
$


Voorbeeld 3

In een vaas zitten 2 rode, 4 witte en 3 blauwe knikkers. Joris pakt één voor één knikkers uit de vaas. Hij gaat daar mee door totdat hij een blauwe knikker heeft.

Bereken, op 3 decimalen nauwkeurig, de kans dat Joris:

  1. 4 knikkers pakt
  2. minstens 4 knikkers pakt
  3. minder dan 4 knikkers pakt

Antwoorden

  1. $P(X = 4) = \frac{6}{9} \times \frac{5}{8} \times \frac{4}{7} \times \frac{3}{6} \approx 0,119$
  2. $P(X \ge 4) = \frac{6}{9} \times \frac{5}{8} \times \frac{4}{7} \approx 0,238$
  3. $P(X < 4) \approx 1 - 0,238 = 0,762$

Met terugleggen

Dezelfde vragen, maar dan met met terugleggen:

  1. $
    P(x = 4) = \left( {\frac{6}{9}} \right)^3\cdot \frac{3}{9} \approx 0,099
    $
  2. $
    P(X \ge 4) = \left( {\frac{6}{9}} \right)^3\approx 0,296
    $
  3. $
    P(X < 4) = 1 - 0,296 = 0,704
    $

Volgende Vorige

Terug Home

Login View