©2012 wiskundeleraar.nl

D. Een bol in een kegel


Opgave

Gegeven is een kegel met een diameter van het grondvlak van 12 en een hoogte van 8. In de kegel past precies een bol.

 


Uitwerking en toelichting

Je wilt dan de straal van de bol weten. Maak een tekening:

q9646img1.gif

De straal is $r$. Je krijgt dan:

q9647img1.gif

Gelijkvormigheid

q9650img1.gif

Driehoek ABC is gelijkvormig met driehoek PQC, kijk naar de overeenkomstige hoeken.

$\angle$A is gelijk aan $\angle$Q, want die zijn beide 90$^o$.
$\angle$C is gelijk aan $\angle$C (triviaal:-)
$\angle$B is gelijk aan $\angle$P, want de som van de hoeken is 180$^o$

$\Delta$ABC~$\Delta$QPC

q9650img2.gif

Invullen:

q9650img3.gif

Kruislings vermenigvuldigen geeft:

$\begin{array}{l} 6(8 - r) = 10 \cdot r \\ 48 - 6r = 10r \\ 16r = 48 \\ r = 3 \\ \end{array} $

Oppervlakte en inhoud

$
\begin{array}{l}
 O_{kegel}  = \pi r^2  + \pi rR = \pi  \cdot 6^2  + \pi  \cdot 6 \cdot 10 = 96\pi  \\
 I_{kegel}  = \frac{1}{3}\pi r^2 h = \frac{1}{3}\pi  \cdot 6^2  \cdot 8 = 96\pi  \\
 O_{bol}  = 4\pi r^2  = 4\pi  \cdot 3^2  = 36\pi  \\
 I_{bol}  = \frac{4}{3}\pi r^3  = \frac{4}{3}\pi  \cdot 3^3  = 36\pi  \\
 \end{array}
$


Volgende Vorige
Terug Home
Login View