de standaardvorm
Voor de standaardvorm voor een wortelfunctie zou je dit voorschrift kunnen nemen:
- $f(x)=a+b\sqrt{c(x-d)}$
Je kunt het functievoorschrift opvatten als een ketting van transformaties die je uitvoert op de standaard wortelfunctie $y=\sqrt{x}$.
Transformaties
$f(x)=\sqrt{x}$
-
vermenigvuldigen t.o.v. de y-as met de factor $
\eqalign{\frac{1}{c}}
$ geeft:
$f(x)=\sqrt{cx}$
-
horizontale verplaatsing over de vector $
\left( {\begin{array}{*{20}c}
d \\
0 \\
\end{array}} \right)
$ geeft:
$f(x)=\sqrt{c(x-d)}$
- vermenigvuldigen t.o.v. de x-as met de factor $b$ geeft:
$f(x)=b\sqrt{c(x-d)}$
-
verticale verplaatsing over de vector $
\left( {\begin{array}{*{20}c}
0 \\
a \\
\end{array}} \right)
$ geeft:
$f(x)=a+b\sqrt{c(x-d)}$
Tada!
Voorbeeld
$f(x)=2-3\sqrt{-2(x-1)}$ geeft:
a=2
b=-3
c=-2
d=1
Controle
$
\begin{array}{l}
- 2(x - 1) = 0 \\
x - 1 = 0 \\
x = 1 \\
f(1) = 2 \\
startpunt\,\,(1,2) \\
( - 1, - 4)\,\,invullen: \\
f( - 1) = 2 - 3\sqrt { - 2\left( { - 1 - 1} \right)} = - 4 \\
\end{array}
$
Klopt!
Toelichting
Je kunt aan het functievoorschrift in deze vorm het startpunt aflezen. Het startpunt is $(d,a)$. De waarden van $b$ en $c$ zijn iets lastiger:
Je kunt overigens deze vorm gemakkelijk omwerken naar de 'oude vorm':
- $f(x)=a+b\sqrt{c(x-d)}$ wordt dan $f(x)=a+b\sqrt{cx-cd}$.
Andersom is het wel handig:
-
Gegeven: $f(x)=5\sqrt{2x-6}-1$. Wat is het startpunt?
Schijf $f$ als $f(x)=5\sqrt{2(x-3)}-1$ en je ziet het startpunt is $(3,-1)$.
Als je kijkt naar het startpunt en een roosterpunt dan kan je parameters aflezen uit de grafiek. Zie de uitwerkingen bij de oefening hieronder.
Oefeningen
Geef de waarden van $a$, $b$, $c$ en $d$ voor de standaardvorm $f(x)=a+b\sqrt{c(x-d)}$:
Opgave 1
Opgave 2
