HAVO wiskunde B - logaritmische functie
Opgave
Gegeven: $
f(x) = {}^2\log (x^2 - 4x)
$.
-
Plot de grafiek.
-
Heeft de grafiek asymptoten? Zo ja, geef de vergelijking(en).
-
Heeft f een inverse (leg uit)
-
Bereken de snijpunten van f met de x-as.
-
Laat zien dat de grafiek symmetrisch is in de lijn x=2.
Uitwerking
![q5897img1.gif](https://www.wiskundeleraar.nl/bestanden/q5897img1.gif)
-
Gedaan! (zie plaatje rechts)
-
Ja, bij x=0 en x=4
$
\eqalign{
& x^2 - 4x = 0 \cr
& x\left( {x - 4} \right) = 0 \cr
& x = 0\,\,of\,\,x = 4 \cr}
$
-
Nee, voor sommige waarden van 'y' zijn er meerdere waarden voor 'x' mogelijk.
-
Dat zijn de punten $(2-\sqrt{5}, 0)$ en $(2+\sqrt{5}, 0)$
$
\eqalign{
& {}^2\log (x^2 - 4x) = 0 \cr
& x^2 - 4x = 1 \cr
& x^2 - 4x - 1 = 0 \cr
& (x - 2)^2 - 4 - 1 = 0 \cr
& (x - 2)^2 = 5 \cr
& x = 2 \pm \sqrt 5 \cr}
$
-
Je moet laten zien dat f(2-p)=f(2+p) voor alle waarden van p (voor het domein).
$
\eqalign{
& f(2 - p) = f(2 + p) \cr
& {}^2\log (\left( {2 - p} \right)^2 - 4(2 - p) = {}^2\log (\left( {2 + p} \right)^2 - 4(2 + p) \cr
& {}^2\log (4 - 4p + p^2 - 8 + 4p) = {}^2\log (4 + 4p + p^2 - 8 - 4p) \cr
& {}^2\log (p^2 - 4) = {}^2\log (p^2 - 4) \cr}
$