Jan Hogendijk
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0. Met deze tien cijfers kunnen wij alle getallen schrijven. Meestal staan we er niet bij stil dat dit eigenlijk heel bijzonder is, en dat ons systeem veel handiger is dan de meeste andere systemen die in de geschiedenis gebruikt zijn. Een voorbeeld van zo'n onhandiger systeem zijn de Romeinse cijfers.
Waarom is ons systeem zo handig? Omdat het een positiesysteem is, dat betekent dat de waarde van een cijfer van zijn positie afhangt. Dat blijkt uit het volgende voorbeeld. Met twee cijfers, 6 en 4, kun je verschillende getallen schrijven, bijvoorbeeld 46 en 64. De 6 in 64 staat voor zes tientallen, dus voor 6 maal 10, maar de zes in 46 staat voor 6 eenheden, dus voor 6 maal 1. Dus twee keer hetzelfde symbool, de 6, maar de waarde van de 6 hangt af van de plaats waar hij staat, en daarom betekent de 6 in 46 dus iets anders dan de 6 in 64.
We hebben dit systeem te danken aan het vroeg-middeleeuwse India. Het is daar in de vijfde eeuw na Christus ontstaan uit een ouder systeem, het zogenaamde Brahmi-systeem. Dit bestond al in de derde eeuw voor Christus, ten tijde van de beroemde koning Ashoka. In het Brahmi-systeem waren er al de cijfers 1 tot en met 9, maar nog geen nul. Voor '10' was er een apart teken, een cirkel met twee pootjes eraan. Voor '20' weer een ander teken, een cirkel met een streepje erin; weer een ander teken voor 30, enzovoort. Er waren speciale tekens voor 100 en voor 1000. Het getal 1111 zou je in het Brahmi-systeem schrijven als het teken voor 1000, gevolgd door het teken voor 100, gevolgd door het teken voor 10 (die cirkel met twee pootjes erin), en dan een 1. Met zo'n systeem kom je niet erg ver, want voor 10.000 moet je weer een nieuw symbool uitvinden, voor 100.000 nog een, enzovoort. Maar in het dagelijks leven in de oudheid en middeleeuwen waren getallen groter dan 10.000 niet vaak nodig.
Alleen in de sterrenkunde waren er toen grotere getallen nodig. In de vijfde of zesde eeuw na Christus is een onbekende Indiase sterrenkundige op het idee gekomen het Brahmi-systeem te wijzigen. Hij voerde een symbool voor 0 in, en het principe dat je de cijfers 1 tot en met 9 niet alleen voor eenheden, maar ook voor tientallen, honderdtallen enzovoort kunt gebruiken, zoals wij dat tegenwoordig gewend zijn. In plaats van het symbol voor tien, die cirkel met twee pootjes, komt er nu een één gevolgd door een nul.
In plaats van het speciale symbool voor twintig, de cirkel met het streepje erin, kun je nu schrijven: twee nul. Voor honderd kun je nu één-nul-nul schrijven, voor duizend één-nul-nul-nul, enzovoort. Je hoeft dan nooit meer nieuwe tekens uit te vinden maar kunt de cijfers één tot en met negen en de nul steeds 'recyclen'. De 'nul' is dus een symbool om 'geen' aan te duiden.
Op de vraag hoe onze onbekende Indiase geleerde op dit lumineuze idee gekomen is zijn door moderne historici verschillende antwoorden gegeven. Daarbij is ook de vraag van belang of er invloed uit andere culturen geweest is.
Volgens sommige historici is dit niet het geval. Zij verwijzen naar een ontwikkeling in het Sanskrit, de heilige taal van India, om getallen op een bepaalde manier in woorden te schrijven. Bijvoorbeeld 'vijfhonderd drie' wordt in sommige teksten in het Sanskrit aangegeven als een woord voor vijf, gevolgd door een woord voor leeg, gevolgd door een woord voor drie. Onze onbekende Indiase geleerde hoefde alleen deze woorden door symbolen te vervangen en klaar is Kees, althans volgens deze historici.
Het is echter wel toevallig dat dit soort woordgetallen in het Sanskrit vooral voorkomen in teksten over sterrenkunde vanaf de vijfde eeuw na Christus. Dit is een periode waarin er in India een nieuwe opbloei van de sterrenkunde plaatsvindt. Die opbloei was geinspireerd door de sterrenkunde van het oude Babylon en Griekenland. Dat dat zo is staat vast omdat veel resultaten en ook een aantal vaktermen in de Indiase sterrekunde van Griekse oorsprong zijn. De Griekse en Babylonische sterrenkundigen in de oudheid rekenden in een zestigtallig positiestelsel, en zij hadden een symbool voor de nul. Zij zijn het geweest die de cirkel in 360 graden verdeeld hebben, de graad in 60 minuten en de minuut in 60 seconden. De Grieken schreven de getallen 1 tot en met 59 met de letters van hun alfabet, dus 1 = alfa, 2 = beta, enzovoort tot en met 10 = iota. Het getal 11 was iota plus alfa, 12 iota plus beta, tot en met 20 = kappa, en zo verder tot en met 59. Voor 60 schreven zij alfa (= 1) gevolgd door een rondje, een afkorting van het woord 'ouden' (spreek uit: oeden), wat `niets' betekent. 61 was dan alfa-alfa, en zo verder. De Indiase sterrenkundigen moeten met dit systeem bekend geweest zijn.
Het lijkt daarom waarschijnlijk dat onze onbekende Indiase sterrenkundige als volgt geredeneerd heeft: Een positiestelsel is heel handig, maar dat Griekse zestigtallig stelsel met al die letters van het alfabet is toch wel ingewikkeld. Welnu, dan maken we er een tientallig stelsel van, en we gebruiken voor de cijfers 1 tot en met 9 het Brahmi-systeem dat iedereen toch al kent. We hoeven dan alleen een teken voor de nul toe te voegen. Die woordgetallen in het Sanskrit zouden dan vanuit dezelfde gedachte zijn ontstaan.
Tegenwoordig spreekt men niet van 'Indiase cijfers', maar ten onrechte van 'Arabische cijfers', en dit heeft te maken met de verdere geschiedenis.
Het systeem heeft een lange en moeizame weg door diverse culturen moeten afleggen voordat het uiteindelijk werd geaccepteerd. Hier hoop ik een andere keer op terug te komen.
Jan Hogendijk - 8 sept 1997 - bron
Een paar weken geleden heb ik gesproken over de oorsprong van het moderne systeem om alle gehele getallen te schrijven met tien cijfers 1,2,3,4,5,6,7,8,9 en 0. Vandaag zal ik iets vertellen over de lange en moeilijke reis van dit systeem vanaf de ontdekking in India in de vijfde eeuw na Christus naar het Westen.
Omstreeks het jaar 775 arriveerde een delegatie van Indiase geleerden aan het hof van de kalief in Bagdad, de hoofdstad van het toenmalig Islamitisch wereldrijk. Die geleerden waren uitgenodigd om de Indiase sterrekunde uit te leggen. Hierdoor werd ook het Indiase systeem om getallen te schrijven (dat is dus het moderne systeem) in Bagdad bekend. Kort daarna, omstreeks 800, verscheen er in het Arabisch een leerboekje over het rekenen met deze Indiase cijfers van Mohammad ibn Musa al-Khorezmi. Al-Khorezmi kwam uit de stad Khorezm, het tegenwoordige Khiwa in Uzbekistan. Deze stad behoorde toen tot het Perzisch cultuurgebied.
Al-Khorezmi was niet een geniaal wiskundige maar wel een enorm goed onderwijzer. In zijn boekje legt hij duidelijk en met veel voorbeeldjes uit hoe je met die getallen kunt rekenen in een bakje met zand of op een leitje (er was toen nog niet veel papier). Je zou het boekje bijna op de lagere school nog kunnen gebruiken. Exemplaren van het boekje kwamen al gauw terecht in het uiterste Westen van de toenmalige Islamitische wereld, dat is Spanje. Het boekje is daar in de 12e eeuw in het Latijn vertaald, nadat een groot deel van Spanje door de Christenen was veroverd. Tot voor kort hadden we van het boekje alleen een gedeelte van de Latijnse vertaling; kort geleden is een handschrift van de hele Latijnse vertaling ontdekt. Van de Arabische grondtekst is praktisch niets over.
Omdat het boekje van Al-Khorezmi zo goed was, verwacht u misschien dat iedereen in de Arabische wereld het nieuwe systeem enthousiast accepteerde. Maar dat was bepaald niet zo. De Arabische sterrenkundigen gebruikten het zestigtallig systeem van hun Griekse voorgangers, en zij schreven de getallen 1 tot en met 59 met de letters van het alfabet, net zoals de Grieken dat gedaan hadden. De schrijvers en belastingambtenaren schreven getallen meestal voluit in woorden.
Al-Khorezmi moest dus proberen die mensen van het nut van het Indiase systeem te overtuigen. Zijn voornaamste argument was dat je er heel handig mee kunt rekenen, ook met heel grote getallen. Bekend is dat Al-Khorezmi als voorbeeld de beroemde schaakbordopgave gebruikt heeft. Het schaakspel was in die tijd populair in het Perzisch cultuurgebied, waar Al-Khorezmi vandaan kwam. Nu komt de opgave. Op het eerste vakje van een schaakbord leggen we 1 graankorrel, op het tweede vakje twee, op het derde vakje vier, op het vierde vakje acht. Zo gaan we door: op het volgende vakje komt steeds het dubbele van het aantal graankorrels van het vorige. Vraag: Hoeveel graankorrels liggen er op het hele schaakbord? Al-Khorezmi rekent het antwoord met het nieuwe systeem gemakkelijk uit, en het resultaat is: 18.446.744.073.709.551.615. (Dit is twee tot de 64e macht min 1)
Helaas heeft hij met deze en dergelijke argumenten niet iedereen kunnen overtuigen. Het Indiase systeem heeft daarom in de middeleeuws islamitische wereld een marginale rol gespeeld, in elk geval in de eerste eeuwen.
Toen het boekje van al-Khorezmi in het Latijn vertaald werd, was men in het Christelijke Europa ook niet meteen enthousiast. Men was gewend getallen in Romeinse cijfers op de schrijven en met een rekenbord met steentjes te rekenen. Deze methode voldeed goed in de dagelijkse middeleeuwse praktijk, waarin grote getallen niet nodig waren. Dus waarom zou men dit nieuwe onbekende systeem uit de Arabische wereld aannemen? Een probleem was ook, dat de vorm van de cijfers niet erg bekend was, en dat men er dus gemakkelijk mee kon frauderen. Bijvoorbeeld, als je een bepaald cijfer op een onduidelijke manier in een contract schreef, dan kon je later altijd beweren dat er een ander cijfer was bedoeld. In de stad Florence zijn de Indiase cijfers daarom een tijdlang verboden geweest. Zo hebben de Indiase cijfers dus ook in middeleeuws Europa een moeilijke start gemaakt. Er was wel één geleerde die het nut van de nieuwe cijfers inzag. Dat was Leonardo Fibonacci, zoon van een koopman, die door zijn vader naar de Arabische wereld gestuurd werd. Leonardo studeerde wiskunde aan een heel goede school in de stad Bougie in Algerije, en toen hij in Italië terug was, schreef hij een boek over het rekenen met de nieuwe cijfers. Dat was omstreeks 1200.
Het keerpunt kwam in de 14e eeuw. De kooplieden in Italië hadden te maken met een groeiende handel en daarbij waren steeds meer en steeds ingewikkeldere berekeningen nodig. Onder andere door het boek van Leonaro Fibonacci raakten veel kooplieden er van overtuigd dat het Indiase systeem het beste was. Het systeem werd daarom ingevoerd aan de Italiaanse 'business schools' uit die tijd. Hierdoor verdrong het uiteindelijk de Romeinse cijfers en de rekenborden. Na de ontwikkeling van de boekdrukkunst werd de vorm van de cijfers gestandaardiseerd op de manier zoals we die nu kennen.
De geschiedenis raakte in dit hele proces op de achtergrond. De Indiase oorsprong van de cijfers werd vergeten. In Europa sprak men van Arabische cijfers en men noemde het systeem naar Algorezmi, de geleerde van omstreeks 800 uit Bagdad. Zijn naam werd eerst verlatijnst tot Algorismi, en daarna verbasterd tot het moderne woord algoritme. Dat woord is tegenwoordig in de moderne informatica heel populair, het betekent rekenmethode in het algemeen. Ons woord cijfer is afgeleid van het arabische sifr, dat betekent 'lege plaats' of nul. Velen in het middeleeuws Europa konden niet begrijpen hoe je nu een symbool, de nul, dat is dus 'iets', kunt gebruiken om 'niets' aan te geven. De nul was daarom de steen des aanstoots van het hele systeem, en zo komt het dat de naam voor de nul, sifr, gaandeweg ook werd gebruikt om de resterende symbolen aan te geven.
Jan Hogendijk - 8 sept 1997 - bron