Waarom is 4$^{0}$=1?
Rekenregels machten en letters en het herleiden van machten
$
a^p \cdot a^q = a^{p + q}
$
$
\left( {a^p } \right)^q = a^{pq}
$
$
\left( {ab} \right)^p = a^p \cdot b^p
$
$
\frac{{a^p }}
{{a^q }} = a^{p - q}
$
Voorbeelden
$
\eqalign{
& \left( {a^3 } \right)^4 = a^{12} \cr
& \left( {3a} \right)^4 = 81a^4 \cr
& \left( { - 3a} \right)^4 = 81a^4 \cr
& - \left( {3a} \right)^4 = - 81a^4 \cr
& \frac{{a^8 }}
{{a^2 }} = a^6 \cr
& \frac{{8a^8 }}
{{2a^2 }} = 4a^6 \cr}
$
Gevolgen van de rekenregels
Eén van de rekenregels luidt:
$
\Large \frac{{a^p }}
{{a^q }} = a^{p - q}
$
Dat is leuk bedacht, maar gaat dat wel goed?
- Wat nu als p=3 en q=2?
- Of als p=q?
- Of als p$< $q?
Op deze pagina gaan we daar 's naar kijken!
Wat is 21?
$
\Large \frac{{2^3 }}
{{2^2 }} = 2^1
$ volgens de rekenregel.
Je kunt de machten ook eerst uitrekenen:
$
\Large \frac{{2^3 }}
{{2^2 }} = \frac{8}
{4} = 2
$
Dus 21 is hetzelfde als 2.
...en dat is wel een beetje gek, ergens...
Als p=q?
Volgens de regel is $
\Large \frac{{2^5 }}
{{2^5 }} = 2^0
$.
Uitrekenen: $
\Large \frac{{2^5 }}
{{2^5 }} = \frac{{32}}
{{32}} = 1
$
Kennelijk is 20=1
Misschien is a0 altijd 1?!
Het moet niet gekker worden...
Als p$
<
$q?
Volgens de regel:
$
\Large \frac{{2^3 }}
{{2^5 }} = 2^{ - 2}
$
Negatieve exponenten? Wat is dat nu?
$
\Large \frac{{2^3 }}
{{2^5 }} = \frac{8}
{{32}} = \frac{1}
{4} = \frac{1}
{{2^2 }}
$
Nou ja...
Kan het nog gekker?
Wat dacht je hiervan?
Ik heb een getal dat vermenigvuldigd met zichzelf gelijk is aan 2. Welk getal is dat?
Er zijn mensen die denken dat dat getal gelijk moet zijn aan $
2^{\frac{1}
{2}}
$ want:
$
2^{\frac{1}
{2}} \cdot 2^{\frac{1}
{2}} = 2^{\frac{1}
{2} + \frac{1}
{2}} = 2^1 = 2
$
Wat denk jij?