Ik had zo maar een voorbeeld genomen. Eerst voor het optellen van breuken en daarna met dezelfde breuken vermenigvuldigen van breuken. Ik had daarvoor $\frac{2}{3}$ en $\frac{3}{4}$ genomen. Maar ja, je moet natuurlijk samengestelde breuken kunnen vermenigvuldigen. Daarvoor had ik dan maar, om op één lijn te blijven, $2\frac{2}{3}$ en $3\frac{3}{4}$ genomen. En wat denk je? Komt gewoon 10 uit.:-)
$
\begin{array}{l}
\frac{2}{3} + \frac{3}{4} = \frac{8}{{12}} + \frac{9}{{12}} = \frac{{17}}{{12}} = 1\frac{5}{{12}} \\
2\frac{2}{3} + 3\frac{3}{4} = 2\frac{8}{{12}} + 3\frac{9}{{12}} = 5\frac{{17}}{{12}} = 6\frac{5}{{12}} \\
\frac{2}{3} \times \frac{3}{4} = \frac{{2 \times 3}}{{3 \times 4}} = \frac{6}{{12}} = \frac{1}{2} \\
2\frac{2}{3} \times 3\frac{3}{4} = \frac{8}{3} \times \frac{{15}}{4} = \frac{{8 \times 15}}{{3 \times 4}} = \frac{{120}}{{12}} = 10 \\
\end{array}
$
...en dat laatste was een beetje een verrassing...:-)
Je kunt laten zien dat:
$
\left( {a + \frac{a}{{a + 1}}} \right)\left( {a + 1 + \frac{{a + 1}}{{a + 2}}} \right) = a(a + 3)
$
Dat kan zo;
$
\begin{array}{l}
f(a) = a + \frac{a}{{a + 1}} = \frac{{a\left( {a + 2} \right)}}{{a + 1}} \\
f(a + 1) = \frac{{\left( {a + 1} \right)^2 + 2\left( {a + 1} \right)}}{{\left( {a + 1} \right) + 1}} = \frac{{\left( {a + 1} \right)\left( {a + 3} \right)}}{{a + 2}} \\
f(a) \cdot f(a + 1) = \frac{{a\left( {a + 2} \right)}}{{a + 1}} \cdot \frac{{\left( {a + 1} \right)\left( {a + 3} \right)}}{{a + 2}} = a(a + 3) \\
\end{array}
$
Ook aardig:
$
f(a) \cdot f(a + 1) \cdot f(a + 2) = a^3 + 6a^2 + 8a
$
Of ook:
$
\begin{array}{l}
a^2 + 3a \\
a^3 + 6a^2 + 8a \\
a^4 + 10a^3 + 31a^2 + 30a \\
{\rm{a}}^{\rm{5}} + 15a^4 + 80a^3 + 180a^2 + 144a \\
{\rm{a}}^{\rm{6}} + 21a^5 + 169a^4 + 651a^3 + 1198a^2 + 840a \\
... \\
\end{array}
$
Of nog mooier:
$
\begin{array}{l}
a\cdot(a + 3) \\
a\cdot(a{\rm{ }} + {\rm{ }}2)\cdot(a{\rm{ }} + {\rm{ }}4) \\
a\cdot(a{\rm{ }} + {\rm{ }}2)\cdot(a{\rm{ }} + {\rm{ }}3)\cdot(a{\rm{ }} + {\rm{ }}5) \\
a\cdot(a{\rm{ }} + {\rm{ }}2)\cdot(a{\rm{ }} + {\rm{ }}3)\cdot(a{\rm{ }} + {\rm{ }}4)\cdot(a{\rm{ }} + {\rm{ }}6) \\
a\cdot(a{\rm{ }} + {\rm{ }}2)\cdot(a{\rm{ }} + {\rm{ }}3)\cdot(a{\rm{ }} + {\rm{ }}4)\cdot(a{\rm{ }} + {\rm{ }}5)\cdot(a{\rm{ }} + {\rm{ }}7) \\
... \\
\end{array}
$
Ik bedoel maar:
$
2\frac{2}{3} \cdot 3\frac{3}{4} \cdot 4\frac{4}{5} \cdot 5\frac{5}{6} \cdot 6\frac{6}{7} \cdot 7\frac{7}{8} \cdot 8\frac{8}{9} \cdot 9\frac{9}{{10}} = 2 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 \cdot 7 \cdot 8 \cdot 9 \cdot 10 \cdot 12
$