Voor welke p ligt de grafiek van g geheel onder de x-as?
Een opgave uit de herkansing van hoofdstuk 3:
Gegeven is de functie $g(x)=-2x^{2}+12x+p$.
- Voor welke $p$ ligt de grafiek van $g$ geheel onder de x-as?
Hoe pak je dat aan?
Ideetje? Je laat die $p$ even weg en je berekent de top van $h(x)=-2x^{2}+12x$. Dan kan je zien wat je voor $p$ moet nemen om te zorgen dat de top onder de x-as ligt.
$x_{top}=\frac{-12}{2\cdot -2}=3$ en $y_{top}=18$
dus neem $p<-18$
Mooie oplossing... dat wel.
Maar...
Bij een functie als $f(x)=-x^{2}+px+p$ gaat dat niet werken. Wat dan?
Als een grafiek geheel onder (of boven) de x-as ligt dan heeft de vergelijking $f(x)=0$ geen oplossingen. Bij een kwadratisch vergelijking betekent dat de discriminant van de vergelijking kleiner aan nul is.
Voor $f(x)=-x^{2}+px+p$ geeft dat $p²+4p<0$. Oplossen geeft $-4\lt p \lt 0$
Gegeven is de functie $g(x)=-2x^{2}+12x+p$.
- Voor welke $p$ ligt de grafiek van $g$ geheel onder de x-as?
Kijk naar $-2x^{2}+12x+p=0$.
$D=12^{2}-4·-2·p=144+8p$.
Neem $D<0$.
Dat geeft $p<-18$.