2. differentiequotiŽnten en snelheden

Gemiddelde verandering

Er zijn twee manieren om over snelheid te praten:

  • Gemiddelde snelheid over een periode
  • snelheid op één moment

De gemiddelde snelheid bij een tijd-afstandgrafiek is $\eqalign{\frac{\Delta s}{\Delta t}}$

$\eqalign{\frac{\Delta N}{\Delta t}}$ is de gemiddelde verandering van $N$ per tijdseenheid.

Afspraak

Bij gemiddelde snelheden en gemiddelde verandering moet je de eenheid vermelden.

Voorbeeld

Een hardloper houdt onderweg zijn tussentijden bij:

tijd $t$ (in min) 0 10 15 21
afstand $s$ (km) 0 3,5 5,5 8,0

Op het interval [0,10] geldt:

$\eqalign{\frac{\Delta s}{\Delta t}=\frac{3,5-0}{10-0}=0,35}$.

De gemiddelde snelheid op het interval [0,10] is 0,35 km/min.

Op het interval [10,15] geldt:

$\eqalign{\frac{\Delta s}{\Delta t}=\frac{5,5-3,5}{15-10}=0,40}$.

De gemiddelde snelheid op het interval [10,15] is 0,40 km/min.

Differentiequotiënt bij grafiek

q11619img1.gif

Het differentiequotiënt van y op $
\left[ {x_A ,x_B } \right]
$ is:

  • de gemiddelde verandering van $y$ op $[x_A,x_B]$
  • de richtingscoëfficiënt (ook wel helling) van de lijn $AB$
  • $\Large \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = \frac{{y_B  -  y_A }}{{x_B  -  x_A }}$

Voorbeeld

Gegeven:

q11619img2.gif

  • Bereken de gemiddelde verandering op $[1,5]$

Antwoord

$
\eqalign{{{\Delta y} \over {\Delta x}} = {{f(5) - f(1)} \over {5 - 1}} = {{2,2 - 0,8} \over 4} = 0,35}
$

Differentiequotiënt bij formule

Het differentiequotiënt van $f(x)$ op het interval $[a,b]$ is gelijk aan:

$\eqalign{\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}}$

Voorbeeld

Gegeven $f(x)=x^2+5x$.

  • Bereken het differentiequotiënt op $[-5,1]$

Antwoord

  • $\eqalign{\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{f(1)-f(-5)}{1--5}=\frac{6-0}{6}=1}$

Snelheid op één moment

Bij een tijd-afstandformule benader je de snelheid op een tijdstip $t=a$ met het differentiequotiënt op het interval $[a,a+\Delta t]$ met (bijvoorbeeld) $\Delta t=0,01$ of $\Delta t=0,001$

Voorbeeld

Gegeven is de formule $\eqalign{s=8-\frac{5}{t+2}}$. Hierin is $s$ de afgelegde weg in meter na $t$ seconden.

  • Benader in m/s de snelheid op $t=1$ en op $t=2$. Neem beide keren $\Delta t=0,01$ en rond af op 2 decimalen.

Zie uitwerking

werkblad bij A34
uitwerking
een hellingspercentage van 15%

©2004-2019 Wiskundeleraar - login