Opdracht

Ik sta aan de oever van een brede rivier en wil graag de breedte ervan bepalen. Gelukkig staat er een boom aan de overkant.

Ik zoek twee punten $A$ en $B$ zodat de hoeken die de oever maakt met de lijn naar de voet $C$ van de boom gelijk zijn aan $\angle ABC=45°$ en $\angle BAC=60°$.

Ik meet de afstand AB. Deze afstand is gelijk aan 50 meter.

• Bereken exact de breedte van de rivier?

Uitwerking

In $\Delta$ASC geldt $\eqalign{\frac{AS}{CS}=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{50-x}{x}}$.
Kruislings vermenigvuldigen en oplossen geeft:

$
\eqalign{
  & x = \sqrt 3  \cdot \left( {50 - x} \right)  \cr
  & x^2  = 3 \cdot \left( {50 - x} \right)^2   \cr
  & x^2  = 3\left( {2500 - 100x + x^2 } \right)  \cr
  & x^2  = 7500 - 300x + 3x^2   \cr
  & 2x^2  - 300x + 7500 = 0  \cr
  & x^2  - 150x + 3750 = 0  \cr
  & (x - 75)^2  - {\text{5625 + 3750 = 0}}  \cr
  & (x - 75)^2  - {\text{1875 = 0}}  \cr
  & (x - 75)^2  = {\text{1875}}  \cr
  & x - 75 =  - 25\sqrt {\text{3}}  \vee x - 75 = 25\sqrt {\text{3}}   \cr
  & x = 75 - 25\sqrt {\text{3}}  \vee x = 75 + 25\sqrt {\text{3}} \,\,(v.n.)  \cr
  & x = 75 - 25\sqrt {\text{3}}  \cr}
$