Actueel
Archief
Culinair
Didactiek
Documentatie
Etalage
Formules
Fotoboeken
Functies
Geschiedenis
ICT
ICTauteur
Laatste nieuws
Lesmateriaal
Muziek
Natuur
Onderwijs
Ontspanning
Persoonlijk
Probleemaanpak
Proeftuin
Puzzels
Rekenen
Rekenmachines
Ruimtemeetkunde
Schoolwiskunde
Snippers
Systeem
Taal van de wiskunde
Vergelijkingen
Verhalen
WisFaq
WisKast




1. machten en wortels

Machten met negatieve exponenten

Hieronder zie je nog een keer de rekenregels voor machten:

  • $
    a^p \cdot a^q = a^{p + q}
    $
  • $
    \left( {a^p } \right)^q = a^{pq}
    $
  • $
    \left( {ab} \right)^p = a^p \cdot b^p
    $
  • $
    \frac{{a^p }}
    {{a^q }} = a^{p - q}
    $

Negatieve exponenten

De laatste rekenregel verdient nog enige aandacht. Volgens deze regel zou 25 gedeeld door 25 gelijk moeten zijn aan 20. Maar er zou eigenlijk 1 uit moeten komen. Kennelijk is 20=1. Op dezelfde manier kan je aantonen:

$
a^0=1\,\,met\,\,a\ne0
$

Volgens dezelfde regel:

$
\frac{{2^3}}
{{2^5}}=2^{3-5}=2^{- 2}
$

Kennelijk kunnen exponenten negatief zijn!?

$
\frac{{2^3 }}
{{2^5}}=\frac{{2\cdot2\cdot 2}}
{{2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2}}=\frac{1}
{{2^2}}
$

Dus kennelijk is $
2^{-2}=\large \frac{1}
{{2^2}}
$. Meer in 't algemeen geldt:

$
\Large a^{-p}=\frac{1}
{{a^p}}
$

Formules met machten herleiden

De formule $\eqalign{y=3(2x^2)^5·\frac{4}{x^{12}}}$ kun je schrijven in de vorm $y=ax^n$. Je gebruikt daarnbij de rekenregels voor machten.

$
\eqalign{
  & y = 3\left( {2x^2 } \right)^5  \cdot \frac{4}
{{x^{12} }}  \cr
  & y = 3 \cdot 2^5  \cdot \left( {x^2 } \right)^5  \cdot 4 \cdot x^{ - 12}   \cr
  & y = 3 \cdot 32 \cdot x^{10}  \cdot 4 \cdot x^{ - 12}   \cr
  & y = 384x^{ - 2}  \cr}
$

Voorbeeld

Schrijf $
y = 40 \cdot 3^{ - 2x + 1}
$  in de vorm $y=b·g^x$

Uitwerking

$
\eqalign{
  & y = 40 \cdot 3^{ - 2x + 1}   \cr
  & y = 40 \cdot 3^{ - 2x}  \cdot 3^1   \cr
  & y = 40 \cdot \left( {3^{ - 2} } \right)^x  \cdot 3  \cr
  & y = 120 \cdot \left( {\frac{1}
{{3^2 }}} \right)^x   \cr
  & y = 120 \cdot \left( {\frac{1}
{9}} \right)^x  \cr}
$

Formules met hogeremachtswortels

Sommige hogeremachtswortels komen mooi uit.
Zo is $
\root 3 \of {125}  = 5
$, want $5^3=125$.

Merk op dat $
\root 3 \of { - 125}  =  - 5
$. Immers $(-5)^3=-125$

Maar $\sqrt{-9}$ bestaat niet, want er is geen getal dat in het kwadraat $-9$ oplevert. Om dezelfde reden bestaat $
\root 4 \of { - 16}
$ niet. Een getal tot de vierde macht is niet negatief.

In 't algemeen

Bestaat $
\root n \of a
$ ?

Als $a\ge0$ dan ja. Voor $a\lt0$ alleen als $n$ is oneven.

Rekenregel

$
\eqalign{\root n \of {A \cdot B}  = \root n \of A  \cdot \root n \of B}
$

Machten met gebroken exponenten

De rekenregels voor machten gelden ook als p en q breuken zijn. Dus je kunt bijvoorbeeld schrijven:

$
2^{\frac{1}
{2}}  \cdot 2^{\frac{1}
{2}}  = 2^1  = 2
$

Maar dat is hetzelfde als:

$
\sqrt 2  \cdot \sqrt 2  = 2
$

Meer in het algemeen geldt:

$
a^{\frac{1}
{q}}  = \root q \of a \,\,\,en\,\,\,a^{\frac{p}
{q}}  = \root q \of {a^p } \,\,\,met\,\,a > 0
$

Door gebruik te maken van deze regel kan je soms handig rekenen, herleiden en vereenvoudigen.

©2004-2024 W.v.Ravenstein