Het bad loopt leeg
![q12859img1.gif](/bestanden/q12859img1.gif)
Bij het leeglopen van een bad loopt het water in het begin sneller weg dan aan het eind. Men gebruikt hierbij het model met een formule van de vorm:
$h=a(t-p)^2$
Hierin in $t$ de tijd in seconden en $h$ de hoogte in cm van het water in het bad.
In het begin staat het water 50 cm hoog en het duurt 200 seconden voordat het bad leeg is.
-
Bereken algebraisch de snelheid waarmee de hoogte verandert op het moment dat het water 32 cm hoog staat.
|
Uitwerking
Met de punten $(0,50)$ en $(200,0)$ kan je waarden van $a$ en $p$ uit de formule bepalen.
$\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
50 = a{\left( {0 - p} \right)^2}\\
0 = a{\left( {200 - p} \right)^2}
\end{array} \right.\\
\left\{ \begin{array}{l}
50 = a{p^2}\\
a = 0\,\,(v.n.)\, \vee p = 200
\end{array} \right.\\
\left\{ \begin{array}{l}
50 = a \cdot {200^2}\\
p = 200
\end{array} \right.\\
\left\{ \begin{array}{l}
a = \frac{1}{{800}}\\
p = 200
\end{array} \right.\\
h = \frac{1}{{800}}{\left( {t - 200} \right)^2}
\end{array}$
De vraag is nu wat de waarde van $t$ is al het water op $32$ cm hoogte staat:
$\eqalign{
& \frac{1}{{800}}{\left( {t - 200} \right)^2} = 32 \cr
& {\left( {t - 200} \right)^2} = 25600 \cr
& t - 200 = - 160 \vee t - 200 = 160 \cr
& t = 40 \vee t = 360\,\,\,(v.n.) \cr
& t = 40 \cr} $
Met de afgeleide kan je dan de snelheid berekenen op $t=40$.
$\eqalign{
& h = \frac{1}{{800}}{\left( {t - 200} \right)^2} \cr
& h' = \frac{1}{{800}} \cdot 2\left( {t - 200} \right) \cdot 1 = \frac{1}{{400}}\left( {t - 200} \right) \cr
& h'(40) = - 0,4 \cr} $
De hoogte neemt af met $0,4$ cm/s.
|