Prooi-roofdiermodellen

Bij een prooi-roofdiermodel hoort een stelsel van twee differentievergelijkingen.

In het model hieronder is $P_t$ het aantal prooidieren op tijdstip $t$ en $R_t$ is het aantal roofdieren op tijdstip $t$:

$P_t=a\cdot P_{t-1}+b\cdot R_{t-1}\cdot P_{t-1}$
$R_t=c\cdot R_{t-1}+d\cdot P_{t-1}\cdot R_{t-1}$

Met gegeven startwaarden $P_0$ en $R_0$ kan je het model doorrekenen met je GR. Je kunt een tijdgrafiek of een prooi-roofdierdiagram tekenen.

Evenwichtswaarden

Bij het model kan je de evenwichtswaarden $\overline P$ en $\overline R$ als volgt berekenen:

Uit $\overline R=c\cdot\overline R+d\cdot\overline P\cdot\overline R$ volgt door delen door $\overline R$:

• $1=c+d\cdot\overline P$

Hieruit volgt dan $\overline P$

Uit $\overline P=a\cdot\overline P+b\cdot\overline R\cdot\overline P$ volgt dan $\overline R$.

Een model van een griepepidemie

Het verloop van een griepepidemie kan beschreven worden met het model hieronder. Hierin is $G_t$ het aantal mensen dat op tijdstip $t$ nog niet de griep heeft gehad. $Z_t$  is het aantal mensen dat ziek is op tijdstip $t$. $I_t$ is het aantal mensen dat op tijdstip $t$ immuun is.

$G_t=G_{t-1}-a\cdot G_{t-1}\cdot Z_{t-1}$
$Z_t=Z_{t-1}+a\cdot G_{t-1}\cdot Z_{t-1}-b\cdot Z_{t-1}$
$I_t=I_{t-1}+b\cdot Z_{t-1}$

Bij gegeven startwaarden $G_0$, $Z_0$ en $I_0$ kan je dan met je GR van alles ondernemen.

• Zie griepepidemie

Directe formules bij een stelsel differentievergelijkingen

Hieronder zie je een voorbeeld van een stelsel van differentievergelijkingen:

$x_t=0,2x_{t-1}+0,7y_{t-1}$
$y_t=0,8x_{t-1}+0,3y_{t-1}$

Gegeven $x_0=10$ en $y_0=20$ kan je directe formules afleiden voor $x_t$ en $y_t$.

Je kunt zien dat er sprak is van een gesloten systeem omdat zowel de coëfficiënten van $x_{t-1}$ als de coëfficiënten van $y_{t-1}$ samen 1 zijn. Omdat het systeem gesloten is blijft $x_t+y_t$ constant.

Zie uitwerking

Voorbeeld

Gegeven is het prooi-roofdiermodel:

$
\left\{ \begin{array}{l}
P_t=1,1\cdot P_{t-1}-0,0005\cdot P_{t-1}\cdot R_{t-1}\\
R_t=0,85\cdot R_{t-1}+0,0003\cdot P_{t-1}\cdot R_{t-1}\\
\end{array} \right.
$

1. Neem $P_0 = 500$ en $R_0=200$
   Verklaar het verloop van de aantallen roofdieren en prooidieren.
2. Neem $P_0=500$ en $R_0=100$
   Bereken wanneer het totaal aantal dieren (prooidieren én roofdieren) voor het eerst meer dan 1000 is.

©hhofstede.nl

Zie uitwerking 2